日最大降水量服从极值分布的一个例证

杨 舵  张学文

(新疆气象科研所,乌鲁木齐,830002)

1998年发表于《气象》杂志24卷2期22-23页,现在转载于此

---张学文ocr,编辑于1999.5

摘 要采用经验及统计理论方法推算出新疆喀什日最大降水量服从极值分布,其分布函数

这为“原始分布为指数分布,其最大项服从极值分布”的理论提供了又一个例证。

关键词 日最大降水量 极值分布 新疆喀什

引言

原始分布为指数型分布的随机变量,其最大项遵守极值分布[1]

(1)

式中、p(x)为分布函数,a 、u为待定参数。文献[2]从统计力学的角度证明了降水量的概率密度为指数分布。文献[3]进一步用大量资料验证了日降水量的指数分布律。因此,从理论上讲,日最大降水量应服从极值分布(1)式。

本文利用新疆喀什站日最大降水量资料,从经验和理论推导两方面证实了上述结论。这为文献[1]的理论提供了一个实例。

1 资料及经验计算方法

为了得到喀什日最大降水量的概率分布型,我们选用喀什站1951~1996年(1954~1956年迁站,资料不连续,按缺测算)每年一日最大降水量(共计43年)资料。将资料从大到小按顺序排序,计算其保证率,即每年出现某一日最大降水量的概率值:

(2)

其中m为日最大降水量排序的序号(m=),n=43为样本数。为重现期。

mm和对应的日最大降水量Rm点绘于包维尔概率格纸上,得到一近似于直线的点的排列(附图)。

附图.检验日最大降水量服从极值分布的概率图

(底图为包维尔概率格纸

包维尔概率格纸的作用是使极值分布(1)式在纸上成一直线(以下以日最大降水量R取代(1)式中的任一随机变量x),因此,可初步断定喀什日最大降水量服从极值分布。

 

2 理论证明

下面为附图上的点配一条最佳拟合直线并求出喀什日最大降水量的分布函数。

根据包维尔概率格纸的设计原理,我们对(1)式取两次对数,并令

(3)

得到 (4)

在最小二乘法意义下算出参数a 和u,则得到喀什日最大降水量的最佳拟合直线(4)式及最佳拟合值。具体公式为:

(5)

(6)

其中r为R与y的相关系数

(7)

SR、Sy为R与y的均方差;为R和y的均值。

用(3)式算出与pm对应的ym值(m=),再以ym Rm值代入(5)、(6)式,算出 =6.78,u=13.58,所以

(8)

按(8)式,由ym算出(m=),与Rm 求相关系数((7)式),得到r=0.99,且通过0.0005信度的相关检验。

由以上理论计算,我们在包维尔概率格纸上证明了喀什日最大降水量服从极值分布。相应地将a 和u代入(1)式,又可得到具体的极值分布函数为

      (9)

注意:文中带下标m的变量(如pm、Rm等)均指离散样本值。

 3 结论

通过以上分析、计算,得到喀什日最大降水量服从极值分布的如下特征:

在包维尔概率格纸上喀什日最大降水量R与自变量

 

为线性关系(pR 出现的概率),其线性回归方程为(8)式,与原资料序列的相关系数达到0.99,通过信度为0.0005的相关检验。

喀什日最大降水量的极值分布函数为(9)式。

这为“原始分布服从指数分布的随机变量,其最大项服从极值分布”的理论提供了又一个实例。

参考文献:

[1]金光炎.水文统计原理与方法.中国工业出版社,1964.

[2]廖树生.降水指数分布律的证明.新疆气象,1981(4).

[3]张学文等.熵气象学.气象出版社,1992.

An Example of Extreme Distribution of

Daily Maximum Precipitation

Yang Duo, Zhang Xuewen

Xinjiang Meteorological Institute, Urumq,830002

ABSTRACT

It is formulated that the daily maximum precipitation obeys the extreme distribution in Kashi of Xinjiang by means of empirical and statistical theory method. Its distribution function is

This gave us an example that its maxima obeys extreme distribution when the distribution of a random variable is exponential one.

Keywords: Daily Maximum Precipitation,

Extreme Distribution, Keshi of Xinjiang