一场大戏的序幕.b.

陈雨思

2004.06.14原发表于系统科学之窗网站的论坛上

 

3.建立系统参照系

那么,对于一个具体系统,怎样确定它的同一性的值,从而准确描述它呢?要根据同一性的值来描述系统,首先必须建立系统参照系。
参照系是一个非常重要的问题, 牛顿在建立他的理论时,所遇到的一个关键性问题就是参照系确立问题。爱因斯坦在逝世前两个星期,曾与美国科学史家贝纳德·科恩谈到此点。他回顾了牛顿的全部思想,认为“牛顿的最伟大成就是他认识到特选(参照)系的作用。”他还把这句话重复了几遍。(1)
爱因斯坦的相对论实际上也是围绕参照系来建立的。

对于复杂系统来说,参照系也是非常重要的。过去人们在研究系统的时候,常常不考虑参照系,或者人为设想一些系统指标、参数,然后对其进行测量和分析,这样做带来的不确定性是很大的。因此,必须建立系统参照系。

系统参照系并不是与系统无关的另外的东西,它可能就来自系统本身,也可能来自与系统相关的其他部分。系统参照系对系统的表达是通过系统及其相关部分来进行的。例如,考虑一个学校人员系统,我们可以选取学校的一些人员来做系统参照系,例如:选教授、副教授、讲师、助教、…各一个来做系统参照系。将所有学校人员与这些作系统参照系的人员相比较,由此就可以来寻找学校所有教授、副教授、讲师、助教之间的同一性。

建立系统参照系的重点是建立关系的系统参照系。例如,研究夫妻关系,则选择一些人的夫妻关系来做系统参照系,然后把其他的夫妻关系与它进行比较,由此就可以来寻找各种夫妻关系之间的同一性。

4. 确定复杂系统模型

在建立系统参照系的前提下,就可以具体来确定复杂系统的各种同一性的值,从而获得一个同一性矩阵,这个同一性矩阵,就是复杂系统模型。对一个复杂系统而言,同一性矩阵的维数一般是一个天文数字,可以通过计算机来处理。

5. 同态概念的重新认识

根据系统同一性,我们可以赋予近世代数学、控制论、泛系理论中的一个重要概念—同态以新的意义,从而得到这样的定义:同态是由系统的同一性所决定的状态。或者说,同一性矩阵所决定的系统状态就是同态。而对于同态的研究就形成一门系统科学学科—同态学。

稍加分析就可以明白,这样定义的同态概念具有广泛的外延,而近世代数学、控制论、泛系理论的“同态”概念则成为它的特例。

6. 同一性矩阵的意义
同一性矩阵的意义是多方面的,以下讲其中的两个重要意义。

6.1把理论问题转化为实验问题

让我们再回忆一下前面引用的哈肯的话,哈肯说:“…关于拉格朗日乘子我们能说的还很少;当然,它们现在可由实验来测量。” 哈肯在这里实际上透露了解决非线性问题的一个秘密,这个秘密就是“实验和测量”。而通过系统参照系来获得同一性矩阵的过程,就是一个“实验和测量”的过程。建立了系统参照系就好比建立了系统的温度计,然后用这个温度计来测量系统。无论系统怎样复杂,怎样不确定,以系统自己为参照系,总是可以测量的,因此,可测性问题可能获得解决(能观测问题也可能获得解决,不过这涉及信息压缩原理,这里不做讨论)。通过“实验和测量”,有可能解决理论上难以解决的非线性问题。

6.2对系统的结构点进行描述

同一性矩阵实际上是对系统的结构点进行描述,这一点具有重要意义。前面说过,求解非线性微分方程是一个世界性难题。造成这个困惑的原因究竟是什么? 这自然要使我们去追究微分方程的来源,我们发现:
微分方程的前提是牛顿的微积分理论;
牛顿微积分以导数为基础;
导数以钭率为基础;
斜率的本质是点的线性表示。

这种追究使我们发现,微分方程与点的特性有关。然而在牛顿那里,点是没有结构的,叫做质点。牛顿是够大胆的,他敢把地球称为一个质点,把太阳称为一个质点,把任何行星、恒星、星系称为一个质点,而不考虑它的结构。当然,牛顿是对的,只有这样,他才能得到一条质点运动轨线,从而用微积分来描述这条质点运动轨线。

但是,在复杂系统研究中,你能够把系统的局部看成没有结构的质点么?当然不能。因为复杂系统的任何微小部分都可能有复杂结构,这种复杂结构对于系统运动的影响是不可忽略的。连在南半球某地的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流,都可能在几星期后变成席卷北半球的一场暴风雨,你怎么能够忽略微小局部对于系统运动的影响呢?

因此,在系统中,“点”成了有结构的“结构点 ”!现在问题清楚了:牛顿的点是没有结构的“质点”;系统的点是有结构的 “结构点”。

微积分中的点怎么样呢?斜率的本质既然是点的线性表示,那么,微积分中的点实际上被看成一个直线段,它也是没有结构的。
一些极短的直线段连接起来,就成为曲线,而质点运动轨线恰好是一条条曲线,所以微积分成为描述质点运动的最好工具。但是,系统的点是有结构的,现在要用微积分来描述系统运动,也就是用没有结构的点来表示有结构的点,而系统的结构特性又是不可忽略的,这就必然使系统的结构特性体现在微分方程上面,使它成为复杂的非线性微分方程;而解微分方程就是求原函数,即积分,它也是以没有结构的点为前提的,现在它遇到具有复杂结构特性的非线性微分方程,它也就显得束手无策了。
而现在,同一性矩阵实际上是对系统的结构点进行描述,这就可能避免求解非线性微分方程的难题,从而可能克服复杂系统研究中的困惑。

7. 得到系统相互作用模型

在确定同一性矩阵的基础上,就可以对于同一性矩阵进行分析和研究。因为同一性矩阵的维数一般是一个天文数字,而在更一般的情况下,同一性矩阵的维数是一个无穷大的数,因此,我们不仅面对一个科学对象,而且也面对一个哲学的对象。对于具体的问题,我们可以在一般的同一性矩阵中抽取一个子矩阵,通过人工或者计算机等工具来处理。而对于一般的问题,则要应用人的创造性思维,去发现同一性矩阵的稳定、运动和发展的规律,然后用这些规律去指导具体问题的处理。
现在首先给出系统相互作用模型。设系统的同一性矩阵为A,在某些物质、能量和信息的作用下,同一性矩阵从A变化到C,并令物质、能量和信息的作用为B,则系统相互作用模型为:
A·B= C
此关系式表明,在B的作用之下,系统从A状态转移到C状态。A、C的意义是明确的。而B则涉及到物质、能量和信息对系统的作用。

通常,物质、能量和信息对系统的作用不是一次完成的,故有:
B=B1·B2·…Bn
则系统相互作用模型为:
A·B1·B2·…Bn= C
此关系式表明,在B1·B2·…Bn 的作用之下,系统结构分布矩阵从A转移到C。

8. 发现同态学概念和原理

严格地说,同态学的所有概念和原理都不是作者凭空想出来的,而是在同一性矩阵分析中发现的。因此,同态学的所有概念和原理都可以通过对一个有限维同一性矩阵进行分析来验证。而任何人也都可能通过对同一性矩阵的分析来发现新的概念和原理,从而丰富同态学的概念和原理体系。

就目前已经做了的研究来看,同态学的所有概念和原理形成了一个具有内在联系的有机体。这个有机体具有 “一二三九”的结构。即:
一是指“同一性”。这根主线贯穿始终。
二是指结构同一性和运动同一性。它是“同一性”的两个方面。也指由结构同一性得到信息概念和由运动同一性得到惯性概念。
三是指结构学、运动学和动力学。结构学涉及结构同一性;运动学涉及运动同一性而不考虑原因;动力学涉及运动同一性而要考虑原因。
九是指九个原理。描述同态运动基本规律的九个原理都以“同一性”为基础。
下面简单谈一谈通过同一性矩阵分析来发现同态学的概念和原理的基本思路。

8.1 A分析与结构学原理

如果在对于同一性矩阵进行分析的时候,不考虑它随时间的变化,自然也不考虑引起变化的原因,那么,我们就是对于同一性矩阵进行结构分析,这称为A分析。通过A分析,发现其中包括三个原理。即存在独立性原理、存在同一性原理和信息压缩原理。这三个原理结合在一起,成为同态结构学的主要内容。
存在独立性原理是说:任何两种存在都是系统参照系可区别的。
存在同一性原理是说:任何两种存在都是系统参照系可表达的。
信息压缩原理是说:具有同一性的信息是可压缩的。

在以存在独立性原理为例,来简单谈一谈通过同一性矩阵分析来发现这个原理的基本思路。
任意选择两个存在来分析,看我们是否可以找到某种系统参照系,使得它们是可以区别的。例如,我们选择原来同是搞体育的孪生兄弟李大双和李小双来分析。这对孪生兄弟出生年月日相同,长得很相像,同是搞体育,如果以出生时间(精确到日),长像(不考虑细节),职业(精确到体操)为系统参照系,则他们在该系统参照系下是不可以区别的。但是,我们总可以找到一些系统参照系,使他们在该系统参照系下是可以区别的。例如,以出生时间(精确到分钟),长像(考虑所有细节),职业(精确到体操成绩)为系统参照系,则他们在该系统参照系下是可以区别的。

如果我们对任意两个存在进行分析的时候,总是可以找到某种系统参照系,使得它们是可以区别的,那么,这些试验结果就可以归纳成一个普遍的原理:任何两种存在都是系统参照系可区别的。
有没有系统参照系不可区别的两种存在呢?没有,除非这两种存在实际上是一种存在。例如,选择李小双来分析。采用任何系统参照系,对李小双进行两次测量,两次测量结果都无法区别(不计误差),那么李小双就只能是一个存在。但是,测量昨日的李小双与今日的李小双,可以发现两者有所不同,因此,可以把昨日的李小双与今日的李小双看成两个存在。

从这里可以看到,存在独立性原理是完全可以实证的,不过,它也可能导致一些哲学问题。比如,古希腊学者赫拉克利特认为:“我们不能两次踏进同一条河”,因为河流常流,再入水时,已经不是原来的水了。赫拉克利特的这个问题,可以应用存在独立性原理来分析。

存在独立性原理是确定系统信息量的基本原理。

8.2 A(t)分析与运动学原理

如果在对于同一性矩阵进行分析的时候,要考虑它随时间的变化,但是不考虑引起变化的原因,那么,我们就是对于同一性矩阵进行运动学分析,这称为A(t)分析。通过A(t)分析,发现其中包括三个原理。即同一性振荡原理、序同态脉动原理和互适应多层次压缩自组织原理。这三个原理结合在一起,成为同态运动学的主要内容。同一性振荡原理是说,形成同一性振荡的系统可能是稳定的。
序同态脉动原理是说,复杂系统的稳定运动表现为序同态的脉动。
互适应多层次压缩自组织原理是说,系统的发展是一个互适应多层次压缩自组织过程。
现在以同一性振荡原理为例,来简单谈一谈通过同一性矩阵分析来发现这个原理的基本思路。
任意选择一个存在来分析,比如选择一对夫妻来分析。夫妻关系的同一性矩阵用A(t)来表示。现在研究A(t)随时间的变化。把时间分为t1 ,t2 ,…,tn,相应地我们就获得A(t1),A(t2),…,A(tn)。现在对于这个同一性矩阵序列进行比较,看其中的同一性的值有什么变化。

夫妻关系的同一性矩阵的维数是很大的(现在比较热的爱情、婚姻、家庭心理咨询都可以用这个矩阵),只取其中一个问题来分析。比如一对夫妻经常由于某个原因吵闹。把他们吵闹之前的同一性矩阵与吵闹时的同一性矩阵来比较,发现他们之间的同一性减少了;但是,如果他们吵闹后又和好,把吵闹时的同一性矩阵与和好之后的同一性矩阵来比较,发现他们之间的同一性又增长了,如果这对夫妻总是吵闹—和好—吵闹—和好,那么,他们之间的同一性就出现减少和增长的周期过程,称为同一性振荡。同一性振荡的意义在于,它使这对夫妻的关系在振荡过程中保持稳定。这样,就使我们得到一个结论:形成同一性振荡的系统可能是稳定的。反之,如果夫妻的吵闹不能形成同一性振荡,吵闹之后不能和好,视若仇人,那么,夫妻关系就不能保持稳定。
如果我们对任意存在进行测试分析的时候,都有上面的结论,那么,这些试验结果就可以归纳成一个普遍的原理:同一性振荡原理。

从这里可以看到,同一性振荡原理是完全可以实证的,不过,它也可能导致一些哲学问题。比如,过去人们认为存在是一个前提,人们以存在为基础来研究事物的运动,现在看来,存在不是一个前提,它是一个需要证明的东西。一个存在只有形成同一性振荡,它才能稳定,而只有稳定,它才能存在。现实的存在,只是不稳定海洋中的一些孤岛。关于这个问题,可以做许多哲学讨论。
同一性振荡原理是判断系统是否稳定的基本原理。

8.3 A分析、A(t)分析与ABC分析的关系
如果在对于同一性矩阵进行分析的时候,不仅要考虑它随时间的变化,而且要考虑引起变化的原因,那么,我们就是对于同一性矩阵进行动力学分析,这称为ABC分析。
严格地说,上面的A分析和A(t)分析都是ABC分析的特例。
前面给出的系统相互作用模型为:
A·B= C
如果B为单位矩阵,则获得一个不考虑时间和引起变化的原因的同一性矩阵,这是进行A分析的基本矩阵。
如果B不是单位矩阵,有:
A·B1·B2·…Bn= C
令:
A·B1=A(t1)
A·B2=A(t2)

A·Bn=A(tn)
这样,就获得一个同一性矩阵序列A(t1),A(t2),…,A(tn),这是进行A(t)分析的基本矩阵序列。同态学九个原理都可以用系统相互作用模型来表示。例如,同一性振荡原理可以表示为:
A·B= A
互适应多层次压缩自组织原理可以表示为:
A·B= AT
在此关系式中, AT与A之间有比较大的同一性,如果从进化论的观点看,AT所对应的存在,保持了A所对应的存在的大量性状,因此,关系式A·B= AT也可以说是达尔文进化论的定量关系式,或者说,是系统进化的定量关系式。一般而言,互适应多层次压缩自组织原理是一个发展原理。

8.4 ABC分析与系统的惯性性质
现在以关系式A·B= AT为基础,来简单谈一谈通过ABC来发现系统惯性性质的基本思路。
假设在关系式A·B= AT中,令B保持不变,而令A取A1,A2,…,An,然后进行试验。这样,就有:
A1·B= AT1
A2·B= AT2

An·B= ATn

这样,就获得一个试验结果的序列:(AT1,AT2,…,ATn)。

现在把这个试验结果的序列与初始的(A1,A2,…,An)序列进行比较分析。可以发现,在经过B的作用之后,初始的同一性矩阵与作用之后的同一性矩阵之间呈现出各种各样的情况。
有一些同一性矩阵在经过B的作用之后,矩阵中的同一性值基本保持不变;
有一些同一性矩阵在经过B的作用之后,矩阵中的同一性值有一部分发生了改变,有一部分则仍然保持不变;
有一些同一性矩阵在经过B的作用之后,矩阵中的同一性值大部分发生了改变,只有小部分仍然保持不变。
为什么在同样的作用之下,有一些同一性矩阵变化很大,有一些同一性矩阵变化很小呢?这说明在与同一性矩阵相对应的存在中,有一种性质,由于这种性质不同,所以在经过B的作用之后,其同一性矩阵中的同一性值的变化情况不同。这个性质是什么呢?它就是该存在保持其原有性质的能力,称为惯性。正是由于惯性的不同,才导致经过B的作用之后,其同一性矩阵中的同一性值的变化情况不同。
从试验中看到,惯性的值依赖于B,如果选择不同的A、B来进行试验,就可以测定各种存在的惯性值。
举一个例子。我们可以选择很多对夫妻,把这些夫妻放到同样的环境中去,在经过一段时间后,再来看这些夫妻。可以发现,有的夫妻仍然维持原来的情况,有的则发生了很大的变化,有的甚至不再是夫妻。从这个试验就可以测量这些夫妻关系的惯性值(应该强调,惯性是保持系统原有性质的能力,至于同一性矩阵中的同一性值如何变化,则属于另外的问题。例如变化方向问题,可以有进化,退化等等性质,这同样可以通过对试验数据的分析来确定)。
从上述试验可以看到,惯性是一个完全可以实证的概念。
不过,惯性概念的确定也可能导致一些哲学问题。比如,过去人们应用熵来分析系统演化,但是,由于熵函数只考虑要素之间的相互联系,即微观状态数,而没有考虑要素之间的相互作用,所以对于要素之间的相互作用不可以忽略的非线性系统,熵判据失效。现在如果在考虑熵函数的同时,也考虑惯性,就可能获得系统演化的新判据。这既是一个科学问题,也是一个哲学问题。可以在科学和哲学上做多方面的讨论。

8.5 ABC分析与动力学原理
通过ABC分析,可以发现其中包括三个原理。即近同态作用原理、信息役使原理和信息能原理。这三个原理结合在一起,成为同态动力学的主要内容。
近同态作用原理是说:直接相互作用仅产生于相近同态之间。
信息役使原理是说:系统相互作用的基本方式是信息役使。
信息能原理是说:任何系统都存在改变系统结构的信息能。
这些原理都是通过ABC分析,根据测试分析的结果归纳而成的,是完全可以实证的。具体过程这里不再赘述。它们也可能导致一些哲学问题。这里也不再赘述。

四、同态学怎样理解组成论

现在,我们从同态学的角度,来讨论前面提到的两个问题,即:同态学怎样理解组成论?怎样借鉴组成论中有益的内容来促进同态学的发展?
1.广义集合是一个同态
在《组成论》的三个概念中,广义集合概念占有很重要的位置,作者对于他提出的这个概念是很看重的,因为作者创立的这门学科原来不是叫《组成论》,而是叫《广义集合论》。因此,我们就从广义集合概念开始,来看一看同态学怎样理解组成论。
1.1广义集合是一个系统的概念
在《大百科全书》(电子版)中,关于集合是这样定义的:如果把一定范围的、确定的、可区别的事物,当作一个整体来看待,就称为集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元。如①北京、天津、上海三城市;②全体英文大写字母;③《阿Q正传》中出现的不同汉字;④全体自然数;⑤平面上的所有直线,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小说就不算集合,因为不满足确定与可区别的条件。
实际上,在上述定义中, “一定范围的、确定的、可区别的” 这类词句是没有在数学意义上严格界定的,因此,集合概念可以说是一个没有经过严格界定的原概念。
现在来看广义集合。
关于广义集合的定义,作者是这样说的:
一个总体(客观事物、研究对象、系统、体系、集体)如果
1.可以分成多个(≥0)地位相同的个体;
2.对某个(可能多个)标志而言,每个个体都有确定的标志值。
就说这个总体是一个明确的(确定的)广义集合。
《组成论》还指出:广义集合论“首先把总体(客观事物,研究对象、体系、系统)按照某种标准(从某个侧面)分成若干个地位相同(平等)的个体”;“总体是由很多个地位相同(从某个侧面讲)的个体组成的。”
《组成论》还指出:“标志是对一种特征的通称,而标志值是对标志的取值的特称。标志类似于数学中的随机变量,我们有时也用标志变量称呼它,而标志值类似于随机变量的某个具体的取值。”
粗略一看,广义集合概念与集合概念似乎没有什么区别。但是,如果仔细研究,就会发现其中包含有可以把问题引向深入的内容。

不过首先要指出,《组成论》的作者认为:“集合论的一个弱点是仅注意了性质的差别,没有直接分析数量的差别。例如在图2—1中有两个a和三个b。集合论仅承认它有两种不同的元素而无力描述每种元素各有多少个。”我不认为集合论有这个弱点,恰恰相反,作者所说 “描述每种元素各有多少个” 的问题,是集合论中一个简单的测度问题。因此,我也不认为广义集合概念在这个方面拓展了集合概念。

但是,从系统科学研究的角度看,广义集合概念的提出则是有意义的,因为它对组成论的研究对象做了严格界定。广义集合概念强调三个东西,一是强调广义集合中个体的地位相同,即这些个体具有全同性;二是强调广义集合中每一个体都有一个或者多个标志。标志是对一种特征的通称。三是强调广义集合中每一个体都有确定的标志值。标志值体现各个个体在形态、性质方面的差异性。广义集合概念通过对这三个指标的强调,对组成论的研究对象做了严格界定。

另外,广义集合概念不仅用三个指标来对集合做了严格界定。而且这三个指标的设置不是一个层次,而是分属于三个层次。个体的全同性属于第一层次;个体的标志属于第二层次;个体的标志值属于第三层次。这样,就为系统的组成描述提供了一个合适的框架。

由此可见,广义集合是一个系统概念,而不是一个数学概念。广义集合作为一个系统概念,与《组成论》作为系统科学学科的身分是一致的。

1.2广义集合中蕴藏的系统参照系
《组成论》指出:广义集合论“首先把总体(客观事物,研究对象、体系、系统)按照某种标准(从某个侧面)分成若干个地位相同(平等)的个体”;“总体是由很多个地位相同(从某个侧面讲)的个体组成的。”
从这句话可以看到, “广义集合”的成立,有两个前提,一是个体的“地位相同”,二是个体是以“某种标准(从某个侧面)”来划分的。不过,在《组成论》中,并没有对于“地位相同”、“标准”或者“侧面”进行界定,而只是举了一些例子。这样,就提出一个问题,从系统的角度看,“地位相同”、“标准”或者“侧面”究竟意味着什么?

这个问题的回答自然就涉及到了同态学的系统参照系。
按照同态学的观点,所谓“地位相同”,是基于一定的系统参照系来说的。例如,高考的全体考生从参加高考这一点来讲,他们“地位相同”。为什么说他们“地位相同”呢?我们可以选取其中一个考生来做系统参照系,然后把所有考生与作系统参照系的考生相比较,发现全体考生从参加高考这一点来讲,与作系统参照系的考生没有区别,所以说全体考生从参加高考这一点来讲,他们“地位相同”。

按照同态学的观点,所谓“标准”或者“侧面”,实际上就是系统参照系。例如,要把高考的全体考生划分成为广义集合中的个体,怎么划分呢?这就需要建立系统参照系,如以某考生的生理指标作为系统参照系,则每个考生都是一个个体;而如果以考生所在学校为系统参照系,则某学校的所有考生只能组成一个个体。只有确立了系统参照系,才能准确地划分个体。

在《组成论》中,没有对个体的划分与个体地位的判别进行分别界定,而从上面的讨论可以看到,以系统参照系为依据,就可以准确地进行个体的划分和个体地位的判别。那么,在研究组成问题的时候,可否不考虑参照系,而直接来建立“广义集合”呢?这在简单情况下是可以的,但是对于复杂系统,这样做带来的不确定性很大。而如果要应用组成论的方法来研究复杂系统,则必须建立系统参照系。

在前面曾经说过:“系统参照系并不是与系统无关的另外的东西,它可能就来自系统本身,也可能来自与系统相关的其他部分。系统参照系对系统的表达是通过系统及其相关部分来进行的。”例如,高考的全体考生构成高考考生系统,可以选择某些考生来做系统参照系,这些作为系统参照系的考生,就属于高考考生系统。如果按照这个方法,在系统及其相关的其他系统中选择系统参照系来建立“广义集合”,原则上我们可以获得一个系统的所有可能的“广义集合”,这就为应用“广义集合”来描述系统提供了可能。如对于高考考生系统,可以选择参加高考的某考生、参加文科高考的某考生、参加理科高考的某考生、参加理科高考语文考试的某考生、参加理科高考语文考试成绩为满分的某考生等等来做系统参照系,这样,就可以获得高考考生系统的所有可能的“广义集合”。

另外,在系统及其相关的其他系统中选择系统参照系,不仅可以获得一个系统的所有可能的“广义集合”,而且可以对于 “广义集合”的全同性、标志、标志值等进行准确刻画。因此,就有这样的结论:广义集合中蕴藏着系统参照系,使广义集合中蕴藏的系统参照系明晰起来,就可以应用“广义集合”来描述系统组成。

下面再对广义集合概念涉及的三个指标做一些分析。
1.3三个指标对应三个层次的系统参照系
前面说过,决定广义集合的三个指标的设置不是一个层次,而是分属于三个层次。个体的全同性属于第一层次;个体的标志属于第二层次;个体的标志值属于第三层次。从上节的分析可以发现,这三个层次,实际上对应着三个层次的系统参照系。如果把个体的划分也算在内,则有四个层次,对应四个层次的系统参照系。下面只讨论三个指标对应的三个层次的系统参照系。

首先来看全同性所对应的第一层次的系统参照系。全同性涉及广义集合的所有个体,任何个体,必须在某种系统参照系下面与其他个体“全同”,才能成为广义集合的成员。因此,决定全同性的系统参照系区分广义集合内外的个体,是此广义集合与彼广义集合、广义集合与非广义集合的划界标准。例如,对于高考考生系统,如果以参加理科高考的某考生为系统参照系,那么,它属于第一层次的系统参照系。这个系统参照系决定参加理科高考的所有考生的全同性。它区分了参加理科高考的考生与没有参加理科高考的考生、参加理科高考的考生与其他各类考生以及非考生等等。

再来看标志所对应的第二层次的系统参照系。标志是对一种特征的通称。对于广义集合中的个体而言,它可以有某种标志,也可以没有某种标志,因此,决定标志的系统参照系区分广义集合内部的个体是否具有某种标志,是区分具有某种标志的个体与不具有某种标志的个体的划界标准。
例如,在以参加理科高考的某考生为系统参照系,从而决定了广义集合之后,再以参加理科高考语文考试的某考生为系统参照系,那么,它属于第二层次的系统参照系。这个系统参照系使参加理科高考的考生有了一个标志,如果某理科考生参加了语文考试,它就有了“语文考试”这个标志;如果某理科考生没有参加语文考试,它就没有“语文考试”这个标志。所以第二层次的系统参照系区分了参加语文考试的理科考生与没有参加语文考试的理科考生。

最后来看标志值所对应的第三层次的系统参照系。标志值是对标志的取值的特称。对于广义集合中的个体而言,只有它具有某种标志,才可能具有标志值,因此,决定标志值的系统参照系区分广义集合内部具有某种标志的个体的标志值的大小,是区分具有某种标志的个体之间标志值大小的划界标准。

例如,在决定了“参加理科高考的考生”这个广义集合和“语文考试” 这个标志之后,再以参加理科高考语文考试成绩为满分的某考生为系统参照系,那么,它属于第三层次的系统参照系。这个系统参照系使参加理科高考语文考试的考生有了一个标志值。如果某理科考生参加了语文考试并且获得一个成绩,它就有了“语文考试成绩”这个标志值。而以获得满分的某考生为系统参照系,就区分了获得语文考试成绩的考生之间标志值的大小。

从上面的讨论还可以看到,三个层次的系统参照系具有嵌套关系,因为“参加理科高考语文考试有成绩的考生”包含在“参加理科高考语文考试的考生”中,“参加理科高考语文考试的考生”包含在“参加理科高考的考生”中。这种嵌套关系,是能够进行组成分析的前提。

1.4三个指标的同一性实质

有了系统参照系,就可以来讨论全同性、标志、标志值的同一性实质。

首先来看全同性。广义集合概念强调广义集合中个体的地位相同,即所谓全同性。从同态学的观点来看,“个体的地位相同”意味着个体之间相对于第一层次系统参照系而言不可区别,即意味着所有个体相对于第一层次系统参照系而言其同一性=1,这也就是意味着个体之间相对于第一层次系统参照系而言其同一性=1。
例如,选取参加理科高考的某考生来做系统参照系,然后把所有参加理科高考的考生与做系统参照系的考生相比较,发现这些考生从参加理科高考这一点来讲,与做系统参照系的考生没有区别,因而他们与做系统参照系的考生之间的同一性=1。这也就意味着他们之间的同一性=1。因为这些考生之间的同一性=1,所以从参加理科高考这一点来讲,他们“地位相同”。

再来说标志。标志是对一种特征的通称。如果以具有这种特征的个体来做系统参照系,也就是前面讲的第二层次系统参照系,那么,具有这种特征的其他个体相对于这个第二层次系统参照系而言,其同一性=1;而不具有这种特征的其他个体相对于这个第二层次系统参照系而言,其同一性=0。
例如,以参加理科高考语文考试的某考生为系统参照系,那么,它属于第二层次的系统参照系。如果把参加了语文考试的理科考生与作为第二层次系统参照系的考生相比较,发现这些考生从参加理科语文高考这一点来讲,与做系统参照系的考生没有区别,其同一性=1。因而他们都有 “语文考试”这个标志;如果把没有参加了语文考试的理科考生与作为第二层次系统参照系的考生相比较,发现这些考生从参加理科语文高考这一点来讲,与做系统参照系的考生没有共同性,其同一性=0。因此他们就没有“语文考试”这个标志。

最后来说标志值。标志值是对标志的取值的特称。如果以具有这种标志值的某个个体来做系统参照系,也就是前面讲的第三层次系统参照系,那么,具有这种特征的其他个体相对于这个第三层次系统参照系而言,其同一性取值在(0,1)之间。

例如,选择一个参加理科语文高考获得150分(满分)的考生为参照系,这就是前面讲的第三层次系统参照系。则每个参加理科语文考试的考生相对于这个参照系而言,其同一性的取值在(0,1)之间。如获得150分的考生其同一性取值为1,获得75分的考生其同一性取值为0.5等等。
归结起来,就有:
全同性意味着个体相对于第一层次系统参照系而言其同一性=1。
标志意味着个体相对于第二层次系统参照系而言,或者其同一性=1,或者其同一性=0。
标志值意味着个体相对于第三层次系统参照系而言,其同一性的取值在(0,1)之间。

与组成论的表述方法比较,只是在标志值的表述上,组成论用绝对值,如150分、75分等等,而这里用相对值,如1、0.5等等。

1.5广义集合是一个同态

从上面的分析可以看到,通过建立三个层次的系统参照系,我们获得三类同一性的值,这三类同一性的值,决定了系统中一些个体的全同性、标志和标志值,从而确立了一个广义集合。
按照同态的定义:同态是由系统的同一性所决定的状态。如果我们把广义集合看成是存在于系统中的,那么,它应该是系统中相应个体的一个状态,而这个状态正是由三类同一性所决定的,因此,广义集合是一个同态。

2.复杂系统组成问题的解决:两种方法的结合

由于广义集合是一个同态,因而就可以把《组成论》的方法与同态学的方法相结合,应用它来研究复杂系统的组成问题。结合的方法就是:首先确定复杂系统的系统参照系结构和同一性,然后获得广义集合及其三个指标,最后获得分布函数和复杂程度。

对于复杂系统而言,要研究它的组成,必须首先确定它的个体,而这往往是比较麻烦的。怎么办呢?同态学有一个原理叫存在独立性原理,应用这个原理,就可以确定复杂系统的个体。存在独立性原理是说:任何两种存在都是系统参照系可区别的。根据这个原理,对于复杂系统中的任意两个可能的个体,我们总可以找到某种系统参照系,使得它们是可区别的。例如前面说过的孪生兄弟李大双和李小双,我们总可以找到某种系统参照系,使他们在这个系统参照系下面是可区别的。这样,根据存在独立性原理,就可以确定一个系统参照系集合,来对复杂系统中所有可能的个体进行准确划分。

其次,前面说过,广义集合的三个指标都涉及同一性,怎样来确定个体之间的同一性呢?同态学有一个原理,叫存在同一性原理。应用这个原理,就可以确定复杂系统个体之间的同一性。存在同一性原理是说:任何两种存在都是系统参照系可表达的。这个原理不如存在独立性原理直观,它包含多层意思,与这里讨论的问题有关的意思是:任何存在间的同一性都是系统参照系可以表达的。例如,选取一个参加理科语文高考获得150分(满分)的考生为系统参照系,则获得90分的考生其同一性取值为0.6,获得75分的考生其同一性取值为0.5等等。虽然这两个同一性取值是相对于系统参照系来说的,但是这两个同一性取值实际上已经决定了这两个考生之间的同一性,因为无论你采取什么标准来表达这两个考生之间的同一性,都可以根据这两个同一性取值来换算。从这里可以看到,系统参照系表达了两个考生之间的同一性。

根据存在独立性原理和存在同一性原理,就可以确定区分个体和反映个体之间同一性的各种系统参照系,这些系统参照系构成一个系统参照系集合。然后,再分析这个系统参照系集合中各系统参照系之间的同一性,就可以决定系统参照系的层次结构。

前面已经指出,个体、全同性、标志和标志值对应四个层次的系统参照系,而且全同性、标志和标志值这三个层次的系统参照系之间还具有嵌套关系,现在我们又知道了系统参照系的层次结构,那么,在个体明确划分的情况下,从与个体有关的系统参照系层次结构中任意选择具有嵌套关系的三个层次的系统参照系,则:
相对于第一层次系统参照系而言,其同一性=1的个体组成一个广义集合。
相对于第二层次系统参照系(令为E)而言,其同一性=1的个体具有E标志;其同一性=0的个体则不具有E标志。
相对于第三层次系统参照系而言,个体的同一性的取值可以在(0,1)之间,这个同一性的值决定个体的标志值。
这样,就获得了广义集合及其三个指标,然后根据《组成论》计算分布函数和复杂程度的方法,就可以获得描述复杂系统组成的各种数据。按照这种方法,可以描述复杂系统所有可能的组成。

3. 同一性矩阵中的分布函数和复杂度

如果不是考虑复杂系统的组成,而是用一个同一性矩阵来描述复杂系统。那么,可不可以应用组成论与同态学相结合的方法来对同一性矩阵进行分析呢?是可以的。分析的方法仍然是:
在个体明确划分的情况下,从与个体有关的系统参照系层次结构中任意选择具有嵌套关系的三个层次的系统参照系,则:
相对于第一层次系统参照系而言,其同一性=1的个体组成一个广义集合。
相对于第二层次系统参照系(令为E)而言,其同一性=1的个体具有E标志;其同一性=0的个体则不具有E标志。
相对于第三层次系统参照系而言,个体的同一性的取值可以在(0,1)之间,这个同一性的值决定个体的标志值。
这样,就获得了广义集合及其三个指标,然后根据《组成论》计算分布函数和复杂程度的方法,就可以获得描述复杂系统的各种数据。计算同一性矩阵中的各种分布函数和复杂程度,对于了解复杂系统结构是很重要的。

值得注意的是,对于广义集合的第一、二层次系统参照系而言,要求个体的同一性=1,或者同一性=0,那么,在同一性矩阵中,个体的同一性取值不是1或者0,而是在(0,1)之间的时候,可不可以构造广义集合来计算分布函数和复杂程度呢?也是可以的,这就是在同一性矩阵中做λ截矩阵,例如,在同一性矩阵中,当同一性≥0.7的时候,令它为1;当同一性<0.7的时候,令它为0,这样,就获得一个同一性矩阵的λ=0.7的截矩阵,然后根据它来决定第一、二层次的系统参照系。这样计算出来的分布函数和复杂程度仍然有它的实际意义。

4.分布函数和约束条件关系的研究
前面讲过,在采用信息的极大化方法(最大信息熵方法)解决问题的时候,我们必须确定拉格朗日乘子,而拉格朗日乘子则与约束条件有关。在约束条件比较简单的时候,可以比较容易地确定拉格朗日乘子,问题也就解决了;但是,当约束条件比较复杂的时候,特别是约束条件是非线性的时候,问题解决起来就比较困难了,这就是采用信息极大化方法的时候遇到的约束条件困惑。

根据上面的讨论,可以应用组成论与同态学相结合的方法来计算同一性矩阵中的各种分布函数和复杂程度。而前面曾经讲过,通过ABC分析可以确定系统的惯性等性质。如果考虑同一性矩阵的时间序列A(t1),A(t2),…,A(tn),分布计算出A(t1),A(t2),…,A(tn)中的各种分布函数和复杂程度,以及惯性等性质。然后把分布函数、复杂程度与惯性等性质进行时间关联,就获得分布函数、复杂程度与惯性等性质随时间变化的经验关系式。通过经验关系式,就可以研究约束条件与分布函数、复杂程度之间的关系。这使我们找到一条解决约束条件困惑的新途径。

5. 一些更深入的问题

通过前面的讨论,我们说明了广义集合是一个同态;个体、全同性、标志和标志值对应四个层次的系统参照系;全同性、标志和标志值这三个层次的系统参照系之间具有嵌套关系。全同性意味着个体相对于第一层次系统参照系而言,其同一性=1;标志意味着个体相对于第二层次系统参照系而言,或者其同一性=1,或者其同一性=0;标志值意味着个体相对于第三层次系统参照系而言,其同一性取值在(0,1)之间。

现在我们进一步思考:“全同性对应同一性=1;标志对应同一性=1(不具有标志则同一性=0);标志值对应同一性取值在(0,1)之间。”这样一件事究竟有什么更深刻的意义呢?

5.1对称与对称破缺
在考虑事物组成的时候,我们需要一个前提,即个体之间的同一性=1,这意味着什么呢?这意味着个体之间是对称的,因为个体之间以第一层次系统参照系为中介进行变换时保持了不变性。也就是说,在考虑事物组成的时候,我们需要一个前提,即个体之间具有某种对称性。不过,仅仅有对称性这个前提,我们是否就能够考虑它的组成问题了呢?也不能。

从事物组成的角度看,对称性对应的是系统的个体不可分辨的状态。如果一个系统的所有个体相对于任何系统参照系都是对称的,即它们是完全对称的,那么,系统的个体完全不可分辨,这样系统就处于混沌状态。例如,世界在混沌状态时,没有前后左右上下之分,也无从区别时间上的过去未来,那时世界是完全对称的。

对于完全对称的混沌系统,我们无法考虑它的组成问题。因为我们无法确定它的标志和标志值。
现在假设一个完全对称的混沌系统产生了对称破缺,这时,我们就可以考虑它的组成问题了。因为在产生了对称破缺的地方,至少出现了两个部分,以其中一个部分为系统参照系,则这个部分与自己之间的同一性=1,而这个部分与另外一个部分之间的同一性≠1,这样,就可以区分个体,决定标志和标志值,从而考虑它们的组成问题了。

当然,对称性这个前提也是不能少的。现在如果再假设完全对称的混沌系统进一步产生对称破缺,直到这个系统失去任何对称性,那么,还能不能考虑它们的组成问题呢?也不能,因为我们没有办法找到一个系统参照系来确定个体之间的全同性,也就没有办法建立广义集合,因而没有办法考虑它们的组成问题。

这样就有结论:只有在系统的对称与对称破缺共同存在的情况下,才能考虑它们的组成问题。这个结论具有深刻的科学意义和哲学意义。

5.2归一化条件的本质

在概率统计中,经常要用到归一化条件。在应用归一化条件的时候,我们往往没有去考虑这样一个问题:为什么我们可以用归一化条件?在什么情况下,应用归一化条件是对的?在什么情况下,应用归一化条件是不对的?

现在我们知道,在考虑事物组成的时候,我们需要一个前提,即所有个体相对于某个系统参照系而言,其同一性=1,如果这个前提不存在,就无法考虑它的组成问题。既然无法考虑它的组成问题,我们当然不能把与这些个体相关的数据进行归一化处理。例如,我们不能把历史上发生的两次战争与今天在某苹果树上摘下的三个苹果进行归一化处理,因为历史上的两次战争与今天的三个苹果之间缺少同一性,更不要说其同一性=1了。

因此,对于具体的事物而言,对于数据做归一化处理是有前提的,这个前提就是这些数据所对应的个体之间必须具有一定的同一性,即所有个体相对于某些系统参照系而言,其同一性=1。当所有个体相对于某些系统参照系而言其同一性=1的时候,这些个体在该系统参照系下完全不可分辨,因而就处于混沌状态。这样,我们就看到:归一化条件的成立是以个体之间的混沌性为前提的,或者说,归一化条件的本质是所有个体之间的混沌性。

归一化条件本质的揭示,具有重要的系统学意义。因为对于一个系统而言,如果我们能够找出它的分布函数,就意味着它满足归一化条件,也就意味着它的个体之间具有某种混沌性,如果我们能够找到它的许多分布函数,就意味着它具有许多方面的混沌性,系统中所有的混沌性一起,就构成了系统的混沌背景。

绝大多数系统都有分布函数,因此绝大多数系统都有混沌背景。绝大多数系统都有混沌背景,说明系统的有序往往是建立在系统无序的基础上的,或者说系统的有序结构往往是建立在系统的混沌结构基础上的。这个结论具有深刻的科学意义和哲学意义。

5.3关于集合概念的严格定义
前面说过,在数学上,集合概念可以说是一个没有经过严格界定的原概念。根据上面讨论,可以给出一个数学上集合概念的定义:

设有一组事物,记为X,不属于X的所有事物记为XF,每一事物记为xi(i=1,2,…)且有xi∈X∪XF。如果存在某一系统参照系T,使T(xi)=1,(当x∈X的时候);T(xi)=0,(当xi∈XF的时候),则称这组事物X为一个集合。某一系统参照系T也可以称为某一映射T。简单地说,所谓集合,是指同一性为1的一组事物的总和。

上面的定义把《大百科全书》(电子版)中关于集合的定义中的几个条件:“一定范围的、确定的、可区别的”从严格的数学意义上做了界定。
根据这个定义,有可能发展出一套研究集合结构的、具有原数学意义的数学理论。由此可能引出许多深刻的数学问题。有兴趣的读者可以一试。

参考文献
1 哈肯.信息与自组织.成都:四川教育出版社,1988年6月. 第191、261页
2 林德宏著.科学思想史.南京:江苏科学技术出版社,1985年7月,第237页
3哈肯.信息与自组织.成都:四川教育出版社,1988年6月. 第118、191、261页
4《爱因斯坦文集》第一卷.商务印书馆,第12页、120页、226页、260页、543页。
5 张学文著. 组成论.合肥:中国科学技术大学出版社,2003年12月