§18.9其他的分布

我们已经用最复杂原理配合不同的约束条件借助拉哥朗日方法得到了很多概率论中常用到的概率函数。但是这不少全部。在《熵气象学》[16]一书中还列了逻辑斯蒂(logistic)、柯西(cauchy)这两个概率密度分布函数,并且也给出了对应的约束条件。这是90年代初由马力同志从数学的推导的角度得到的。在这里我本应当像前面那样把对应问题的物理含义做说明。但是现在翻看马力的那些推导,我感到对这两个分布做物理说明是有困难的。所以这里不再展开分析和讨论了。我们仅在后面的表中把它们列入供读者进一步研究时参考。也由于我对其数学方面不大放心,在表里加了问号。 

§18.10小结与讨论

本章仅是第十七章的延续。从那些约束条件配合最复杂原理具体得到那些新分布函数我们统一列在表(18.2中。本章的一般讨论与第十七章是一致的,这里不再赘述。

表(18.2几种概率分布的形成背景(本表的变量都是连续变量,故不单独指出。另外,概率的合计值等于1的约束对每个分布都需要,表中不另赘述)

名称

约束条件

分布函数的公式

说明

正态(一维)

变量x的标准差σ为固定值

18.1

标准差为固定值与方差固定是等价的。有平均值存在,并且等于a  
π
=3.1416…

正态(二维)

变量xy的标准差σx ,σy为固定值, 它们的相关系数ρ也是固定值。公式18.7)、(18.8)、(18.9)或者(18.11

公式太长省略了,见公式18.10

相关系数不能等于1,变量有平均值存在

对数正态

变量x的几何平均值固定 (18.14)

变量对数的标准差固定

(18.15)

18.12

x>0

Gamma

变量的代数平均值和几何平均值都是固定不变的

 18.20

 18.21

18.18

x>0

贝塔(β,beta

变量x和(1-x)的几何平均值为固定值

           18.29

            18.30

              0<x<1, p>0,q>0         18.25

 

威伯

变量的某次方的代数平均值和几何平均值和固定值

       18.33

  (18.34)

x>0

n的值已知道时几何平均值固定的约束就不需要了

瑞利分布

关于约束的讨论见18.7

         18.39

n=2时的威伯分布

极值分布

变量的平均值为固定值

   18.43

           18.44

      18.42

第二个约束和参数的含义见(18.8)节

柯西(cauchy

的平均值为固定值

疑问点:约束含义不清楚,

逻辑斯蒂(logistic

变量的平均值=a

的平均值为固定值

疑问点:第二个约束含义不清楚,从数值实验看其固定值恒等于1,似乎无法用它确定β值

 

§18.11致谢、补充、希望

第十七和十八章介绍了十多种概率分布是如何从最复杂原理推导出来的。它们有的来自文献也有我们自己推导的。这个总体认识形成于80年代末,在90年代初期我们做了努力。当时马力同志负责了不少数学公式的推导工作,并且汇集到《熵气象学》一书中。这里汇集的认识又有进步和深化。另外崔旭博士(国外在读)也帮助做了一些工作。这里对马力同志早期的工作和崔旭博士的工作一并表示感谢。

收集更多的概率分布、全部用最复杂原理推导出来(也许不可能或者思路很笨)、给出每个分布的全部推导公式、给出其物理含义的一般说明、给出对应的应用事例、给出对应的数值模拟实验的步骤与说明、给出在电脑上的应用程序,这应当是一件非常有意义的工作。它应当由数学工作者、统计学工作者、电脑工作者联合完成,并且形成对应的报告、论文、专著、软件和光盘。笔者的本书是在这个方向做了努力,但是它与这个目标有距离。欢迎有兴趣的人士继续这个工作。

笔者也期待早日把这个认识统一写入统计学教科书,把对应软件汇入流行的统计软件功能中。

 

 

第十九章