§18.5威伯(Weibull)分布

以连续变量x为标志的广义集合,(即随机变量为x),如果已经知道变量的n次方的代数平均值为固定值u,就可以写为

      x>0         18.33

我们还知道变量的对数的平均值为固定值(等价于几何平均值为常数),就有:

          18.34

上面约束条件公式中的f(x)仍然是概率密度分布函数,而且从第二个约束知道变量必须是大于零的变量(只能取正值,注意积分下限)。对于概率密度分布函数,当然有

              18.35

如果该广义集合具有随机性,它应当遵守最复杂原理,根据上面的三个约束公式,利用拉哥朗日方法求分布函数时,构造的F函数是

F对未知的概率密度f的偏微商,并且令它等于0(利用了最复杂原理),得到

整理得

     18.36

在概率论中我们已经知道威伯分布(Weibull)就是具有下面形状的概率分布函数

      18.37

我们看到用给定约束和最复杂原理推导的分布函数与概率论中的威伯分布具有相同的函数形状。这也就说明威伯分布的形成的物理原因有可能(不见得全部)就是客观事物的随机性(伴随着最复杂原理有效)和这里给出的约束条件。

公式18.37中的参数u,也就是变量的n次方的平均值。在实际观测中,对于必然是正值的变量x,它一般具有一个大于零的最小值 a,那么威伯分布就写为

              0<ax           18.38

从外型上看,这个分布函数有三个参数,其中a描述了变量的最小正值(下限),n描述了多少次的方,u是变量xan次方的平均值。

以上是我们从最复杂原理角度认识威伯分布的思路。笔者认为在这个思路下变量下限a是预先知道的值,它不属于未知参数。而变量的n次方是未知数。n的值等于多少应当利用18.34式去推算。所以公式中的两个参数要依靠两个约束公式来决定。

后面(18.7)我们看到如果变量的n次的平均值为给定值的约束中的n值是已经知道的,那么我们就已经知道了概率分布公式中的一个参数。这时也就没有必要(实为多余,而且产生矛盾)引入第二个约束条件,18.34式。

§18.6瑞利(Rayleigh)分布

当威伯分布中的参数n=1时,就得到了第十七章介绍的负指数分布。所以负指数分布也是威伯分布的一个特例。在威伯分布中的参数n=2时,又得到了所谓瑞利分布

          18.39

所以瑞利分布也是威伯分布的一个特例。图18.6给出的是a=0u=25时的瑞利分布曲线。它有一个最大值,但是曲线在最大两侧并不对称(所谓偏态分布)。

 

变量函数的分布