§14.7  不可逆变换的熵减少
(2001年7月公布于 http://entropy.com.cn

热力学指出不可逆过程必然引起热力学熵的增加,但是对广义集合的个体的标志值进行不可逆变换则其复杂程度(熵)要减少

14.7.1标志变量变换引起的复杂程度变化问题

根据第七章介绍,复杂程度是根据分布函数计算出来的。分布函数是根据不同标志值占有多少个体而确定的。如果对标志变量本身做一种变换,这改变了分布函数从而也改变复杂程度的值。这就是变换引起的复杂程度的变化问题。

例如一个骰子,本来六面(6个个体)分别是123456点。规定把每个面的点数都加3,于是骰子的六面变成了456789点了。这就是对标志变量做了一种变换。如果把骰子的点数都乘2,新的变换使标志值分别变成了24681012,这也是一种变换。问题是新的广义集合的复杂程度有那些变化。

把这个问题一般化,就是:由N个个体组成的广义集合A(x)x为标志变量,得到复杂程度Cx 如果yx单值函数,其变换规则以y=f(x) 表示,那么利用这个变换规则把每个个体的标志值x1x2 ,…,xN ,都分别变换为y1y2 ,…,yN ,得到新广义集合B (y),问B (y)的复杂程度Cy是什么。

我们用y=f(x) 这个数学符号概括了前面骰子点数加3,或者乘2这些运算规则,但是它也可以是非数量形式的变换规则。表14.2就是例子

14.2把骰子的各个个体(6面)的不同的点数变换为不同的颜色

1

2

3

4

5

6

红色

橙色

黄色

绿色

蓝色

紫色

 

14.2把一个骰子的不同的点数变换为不同的颜色了。这显然不是数量形式的变换,但是它也是单值的变换----每个标志值都仅能变换为唯一的新的标志值,而标志值可以是电脑语言中的“字符串”,或者称为字符串变量。

如果表里的紫色改为兰色,它也是一个符合单值变换规则的(所以也可以计算新的复杂程度。如果不是单值引起一个个体有两个或者多个标志值,无法计算其复杂程度),但是它导致了原来的5点和6点都是兰色。即我们固然可以把每个x都变成了唯一的y,但是不可能利用紫色反推算出原来究竟是5点还是6点。这种不可能进行反方向推算的变换我们称为不可变换。而利用每个y可以反求出原来的x的变换称为可逆变换

变换规则显然有无穷无尽种,也没有必要都讨论。下面讨论

1.离散变量在可逆变换中的复杂程度的变化
2.离散变量在不可逆变换中的复杂程度的变化
3.连续变量在变换中的复杂程度的变化。

14.7.2离散变量在可逆变换中的复杂程度的变化

当一个广义集合的各个个体的标志值进行了可逆变换以后每个新的标志值占有的个体的数量没有发生增加和减少的情况,这显然不影响利用公式7.5对复杂程度的计算。所以离散变量在可逆变换中的复杂程度(熵)没有变化

例如一个骰子的6面组成一个广义集合,按照表14.2做变换以后每个颜色仍然仅占一个个体(1面),其复杂程度仍然是6log6 。这也就是第七章提到的复杂程度值与标志的具体值无关(它仅与标志值xi所对应的个体个数ni有关)。

说一个骰子的点数的复杂程度为6log6,说它的颜色的复杂程度为6log6,这些说法都对。如果问:可不可以把它们相加,用以代表骰子的总的复杂程度?不对!因为这两个复杂程度仅是从不同角度描述了同一个客观事物的状态丰富程度,它们不能相加。

14.7.3离散变量在不可逆变换中的熵(复杂程度)要减少

14.3给出10个学生的考试成绩,可以把考试成绩看作广义集合内各个个体的标志值。现在对学生成绩做一种变换:80分以上、80-60分和60分以下归入甲、乙、丙共计三挡,就得到表14.3的第三行。

14.3对学生成绩的不可逆变换(归挡)

学生编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

考试成绩

84

65

70

82

53

92

76

81

95

68

得分档次

 

现在利用第二行数据计算出考试成绩的复杂程度。由于每个学生的分数都不相同,即每个标志值具有的个体都是1个,根据复杂程度公式7.5,复杂程度值= -10log(1/10) =10 Hartly

经过对成绩的分档,成绩就被简化为仅有三种标志值(甲、乙、丙)。现在统计不同的档次的学生各有多少,我们得到甲、乙、丙档次的学生人数分别为541。也利用复杂程度公式7.5,得到成绩的复杂程度为

C=-5log(5/10)-4log(4/10)-log(1/10)

C=4.09 Hartly

复杂程度由原来的10变化为4.09,说明经过对个体的标志变量的一种变换,其复杂程度下降了(减少了),老师也容易记忆了。这种变换显然是不可逆变换。

复杂程度度量的就是客观事物状态的丰富程度。客观事物经过不可逆变换以后其丰富程度(熵)下降了!这就是我们的结论(这可能打乱了物理学家关于熵增加的思维定势)。

16个大小相同的正方形,但是各个正方形的颜色都彼此不同。依复杂程度公式这个“颜色场”的复杂程度为16log16。天长日久,各个正方形的颜色不那么鲜明了,16个正方形中仅能分辩出深浅两种颜色了,其熵的最大值也仅是16log2。这又是一个“清楚的事物”变得模糊的过程,这个不可逆过程中的非热力学熵(复杂程度)也是下降的(从16log16下降到16log2)。

一般地说,广义集合A(x) 如果其每个个体的标志值xi都不相同,则每个标志值占有的个体仅为1个(见表14.4)。

14. 4每个标志值都仅有1个个体的广义集合

标志值

x1

x2

x3

xi

xN

个体数

1

1

1

1

1

1

1

根据这个表和复杂程度公式7.5,可以计算出它的复杂程度C

C=-1×log1/N

以上求和共计N项,故得

C=NlogN

如果把原广义集合依表14.5的规则变换为新广义集合,

14.5有两个原来不同的标志值变得相同了

原标志值

x1

x2

x3

xi

xN

新标志值

x

x

x3

xi

xN

即新广义集合有两个个体的标志值都变成了x,而其余的都没有变化。它的物理意义就是原来N个个体都可以彼此区分,现在有两个个体的标志值相同了(它们不可区分)。这是一个不可逆变换,依公式计算得到新广义集合的复杂程度C'

C'=-(N-2)log(1/N)-2log(2/N)

C'=-Nlog(1/N)+2log(1/N)- 2log(2/N)

C'= NlogN -2log2

C'=C-2log2

它说明对广义集合的个体的标志值进行不可逆的变化以后,新广义集合的复杂程度C' 比原复杂程度C要小,而且这个特例得到的结论显然具有一般性。确实,复杂程度描述客观事物状态的丰富程度,不可逆变换以后客观事物的状态没有原来那么丰富了,其复杂程度自然要降低。

根据这些分析,我们建议对过去研究过的热力学的不可逆过程进行一次再分析。如果它伴有对标志变量的不可逆变换(过程),那么计算熵的变化时,应当把这些减少的熵也一并考虑进去。这也是把热力学第二定理扩大为复杂度定律的一个途径。

“不可逆过程”一词在热力学里广泛应用,但是它显然也可以用于其他领域。我们指出的不可逆变换中的熵减少现象(状态丰富程度、复杂程度)实际是针对一切使广义集合内各个个体的标志值的差别有所减少而言的。它对应那些物理学上的不可逆过程?这个问题值得细究。

14.7.4.连续变量在变换中的复杂程度的变化问题

本问题移到第十五章讨论。下一节换个角度讨论问题。

§14.8 三种变换机构