§13.4 随机性是否影响复杂程度的客观性?

广义集合具有随机性也就是它对应的分布函数具有随机性。而前面还利用这种随机性得到了最复杂原理。承认这个原理也意味着承认有随机性的广义集合其复杂程度可大可小,一个可大可小的量也有客观性?这可能是人们提出的另外一个疑问。

是的,最复杂原理的讨论使我们担心:有随机性的客观事物,其复杂程度可大可小,这个原理岂不是已经隐含了“复杂程度值究竟是多大”有“随机性”,而没有客观性或者说确定性?

为了分析这个问题引入复杂程度的平均值概念是十分有益的。它帮助我们认识到有随机性的广义集合,其复杂程度固然可大可小,但是其平均值具有客观性(有确定性,没有随机性)。

为了说明上述问题把第十一章的弹弹子球游戏的例子再列在这里。

11.1 弹子球游戏的结果
(不同的广义集合、分布函数、复杂程度的出现概率不同)

m个球得100

m=0

m=1

m=2

m=3

m=4

m=5

m=6

m=7

m=8

m=9

m=10

10个球累积得分

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

该事件出现的概率×1024

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

复杂程度(比特)

0

4.6

7.2

8.8

9.7

10

9.7

8.8

7.2

4.6

0

 

十一章11.1中给出了10次弹球,有5次得100分的情况占了252/1024,即这种结局(对应一种分布函数)的出现概率为0.246。它是11个可能的结局中出现概率最高的一种,也是复杂程度最大的一种。利用最复杂原理我们应当取100分占5个(或者4-6个)为答案,因为它正确的可能性最高。这些都是前面分析的问题。

这个表也帮助我们分析另外一个问题:弹10球时,共有11种不同结局和不同的复杂程度。那么11个可能结局中的11个复杂程度值(有5种复杂程度值出现两次)的平均值等于多少。

根据第七章利用出现概率求平均值的一般公式7.1c,其复杂程度的平均值应当等于

=[2(1×0+10×4.6+45×7.2+120×8.8+210×9.7)+252×10]/1024
=9.22 bit

这个结果说明

  1. 不同结局对应不同的分布函数和不同的复杂程度,利用平均值公式可以计算复杂程度的平均值。而这个平均值已经没有随机性了。对于其它的有随机性的广义集合我们显然也可以得到相同的结论(其具体计算可能很繁):有随机性的广义集合的复杂程度的平均值没有随机性

  2. 本例中复杂程度的最大值是10,而平均值是9.22 这说明最大值与平均值的差别并不大。如果游戏时不是弹10个球而是20个或者更多,其复杂程度平均值与极大值的差别就更小。这几乎提示我们复杂程度的最大值几乎与平均值相等(我们没有给出更严的证明)。

一个袋子里有1000张大小相同的卡片,999个写着1,一个写着0。任取一张卡片,其结局可能是1也可能是0,这有随机性。说结局是1,则这个结论经常对,但是这个结论有随机性、巧合性。如果分析结局的平均值,(根据公式它等于0.999),它就没有随机性、巧合性,而具有了确定性。这个更简单的例子与前面关于复杂程度平均值的讨论是一个道理。它们都体现了取平均值以后,就没有随机性了。

物体温度是25度,这里的25度被认为是一个确定值。但是物理学告诉我们25度实际上是一个平均值,它代表了物体内部众多分子的随机性运动所对应的能量的平均值。这个例子说明随机性的平均值具有确定性、稳定性和客观性。也说明随机性总是限定在一定是约束之内的。

本节的目的就是说明,即便有随机性的客观事物的复杂程度有时大有时小,但是其平均值有确定性,不再具有随机性。而分析提示我们,复杂程度平均值与复杂程度最大值在一些场合差别不大。

这样我们在1112容忍并且利用了客观事物随机性以后,又在随机性中找回了(如通过复杂程度平均值)确定性。这些分析使我们逐步看到复杂程度是客观事物的一个客观的物理量。

前面我们已经指出,有限物质的复杂程度仅能是有限值,不可能是无限大。最复杂原理求得的复杂程度的最大值,都是在一定约束条件下得到的。它比无约束条件情况下的复杂程度的最大值(即NlogN)要小。

后面在提到客观事物的复杂程度时(一般地讲不再讨论抽象事物的复杂程度),如果该客观事物本身具有随机性,我们所指的复杂程度就是复杂程度平均值(它常常与复杂程度的最大值差别不大)。这等于把随机性引起的有限的不确定性暂时封存起来了,这便于我们用简捷的思路分析客观事物的复杂程度的客观性。

§13.5 随机性的丧失

现在“确定性的丧失”论调在科技界很流行,可是根据上一节的讨论(把广义集合中的随机性成分可以临时封存了起来),我们也可以从某些侧面说“随机性的丧失”。

掷一枚硬币,正面一定向上?不一定!由于实验结果有不确定性,其正面向上的概率仅为0.5,我们还可以利用信息论知识计算出实验结局的不确定性(结局的信息熵)为1bit(比特)。

从表面上看这个例子是典型的随机性问题。但是如果问其概率为什么不是其它的值,而恰恰是一个确定值(0.5)?在这里随机性事件的结局尽管不确定,但是它出现各种结局的概率却是确定的。我们得承认随机性事物中至少也有确定性的方面(例如概率值)。

篮球赛没有进行,比赛结局就有不确定性,奥运会还没有进行,中国得几块奖牌就存在不确定性。比赛结束,悬念也没有了。当一枚硬币已经落地,“正面”真的向上时,用信息论语言说,我们得到了1bit的信息。这1bit信息恰好消除了原有的1bit的不确定性。 信息的获得就是随机性的丧失。这里“随机性”没有了,“确定性”落实了。事物的演化运动就是使随机性丧失而确定性得到体现。

如果从复杂程度角度分析,又提供了一个新视角:硬币这个客观事物本身具有正、反面(有两个个体)。这是个确定性的事物,依照复杂程度定义,一枚硬币的复杂程度应当等于2 bit 。即,掷一次硬币时其结局的不确定性来源于一枚硬币“仅有两面”的确定性。

硬币实际是一个非常扁的圆柱体。它的侧面积比起两个底面的面积小到了可以忽略不计的程度。于是我们说掷硬币时正面和反面向上的概率都是0.5 。如果有一种硬币不是非常扁(薄),而是相等厚(类似一个易拉罐),那么正面和反面占的总面积就比较小,它们向上的概率就也就小。掷这种硬币时其结局就有新的概率分配。它直立着的情况就很少,而横卧的概率很高。这个事例说明原有的不确定性,随机性,是与硬币的形状联系着的。我们不妨说,掷硬币的结局的随机性实际上来源于硬币形状的确定性(形状的复杂程度)

玩麻将牌或者扑克,都要事先抓牌。没有抓之前,其结局是什么就有不确定性、随机性、巧合性;当把牌已经拿到手以后,就得到了一副确定性的牌,于是原先的不确定性就丧失了。

人们努力积累科学知识。每个具体的科学知识的获得都是原先的无知(不确定性)性的丧失。

我们不想就随机性与确定性做更多的哲学讨论,仅想说明很多所谓随机性的事物中也都联系着确定性(至少存在确定性的侧面)。在充分利用随机性得到了关于复杂程度的最复杂原理的同时,我们不想拒绝从确定性角度分析客观事物,我们还想寻找客观事物的复杂程度在确定性方面的规律性。

§13.6 个体、原子、量子、数字化