§11.3 计算广义集合出现概率的模型

前面的讨论都把广义集合、分布函数、复杂程度的随机性最后集中在设法计算“不同的广义集合、分布函数、复杂程度出现的概率的大小”这个问题上。现在从一个弹子球模型讨论它(图11.1

 

11.1 弹子球游戏

(从右侧窄道中弹出的每个球,共10个,必然自动落入一个小穴中。
深色的小穴得100分,浅的得50分)

wpe10.jpg (9472 bytes)

有一种游戏(赌博)可能叫弹子球。给庄主例如5元钱以后,他允许你在一个特殊的盘子的右边把10个球一次次地弹到盘子里。盘子里有很多小穴,每个球经过很多随机的环节必然落到一个小穴中。深色小穴得100分,浅的50分,而且两种穴大小一样,个数也一样多。最后计算10个球的累积得分。如果每次都是100分,那么累计就是1000分,就有重奖(如1000元)但是得800分以下奖品就很少了。

每次游戏(弹10个球)的结果就是一个有随机性的广义集合(有随机性的客观事物)。现在来分析不同的得分、不同的分布函数和不同的复杂程度的出现概率各是多少。

为了计算本问题中不同得分的出现概率,我们先计算得100分的球为m 个的出现概率P(是大写字母)。在概率论中这就是二项分布(有两种标志值)问题。其计算公式(请参考概率论或者统计学的书籍)是

    P(m)={n!/[m!(n-m)!]}pm(1-p)n-m 11.1

小写的 p 1-p 分别是两种事件(标志值为100分和50分)的出现概率,P(m) n 次抽样中有m 次为100分的事件,而且有n-m 次为50分事件的出现概率。对于本问题,由于50分与100分的小穴的数量一样多,说明了得50分和100分的概率是相同,即

  p=0.5=1-p 另外n=10,所以

  P(m)={10!/[m!(10-m)!]}(0.5)10 11.2

一次(10个球)游戏的结局是一个有随机性的广义集合,每弹一个球是一个个体。50100分代表两种标志值。一次(10个球)游戏的结局得到了一个具体的分布函数,这个分布函数可以简单地用不同的m 表示来表示,即不同的m代表了不同的分布函数(不同的广义集合、不同的结局)。所以上面的公式可以计算出不同的分布函数的出现概率。我们把不同的m 值带入公式就得到不同的广义集合(分布函数)以及它们对应的出现概率。这些都列于表11.1中。

11.1 弹子球游戏的结果
(不同的广义集合、分布函数、复杂程度的出现概率不同)

m个球得100

m=0

m=1

m=2

m=3

m=4

m=5

m=6

m=7

m=8

m=9

m=10

10个球累积得分

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

该事件出现的概率×1024

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

复杂程度(比特)

0

4.6

7.2

8.8

9.7

10

9.7

8.8

7.2

4.6

0

 

表的第1行是10个球中得100 分的球的个数m 。知道了m ,也就知道了得50分的球的个数是10-m 。所以 m 值已知也就是知道了分布函数。利用游戏规定也容易计算累积得分(第2行)。第3行是根据前面的公式计算出来的概率值,在表中列出的是概率值的1024倍。而1/10240.510次方的值。

另外,根据复杂程度计算公式7.5还可以计算不同得分(不同的分布函数)对应的复杂程度。例如m=2对应600分,它对应的复杂程度C(2)显然应当是两个100分,8个50分)

C(2)=-2ln(2/10)-8ln(8/10)

C(2)=5.003

ln2除它就得到以比特表示的复杂程度的值7.2比特(m=2)。我们把m 是不同值时的复杂程度都计算出来统一列在表的最后一行中。

分析这个表可以得到下面的认识

有随机性的广义集合出现各种分布函数都有可能,但是它们所对应的出现概率却差别很大。出现5100550分的情况最多。它对应的概率是252/1024,即25%
1000分的事件的出现概率是1/1024,或者说1000次游戏可能遇上一次。这保证了庄主不赔钱,而游戏者,平均地说,玩1000次才接近得一次重奖。
分析概率的数值与复杂程度的数值的关系可以看到高概率对应的复杂程度也大。概率最高则复杂程度也最大。

这个例子说明有随机性的广义集合,在一些场合其不同的分布函数的出现概率是可以计算的。而且其对应的复杂程度也可以计算出来。

我们特别关心不同的广义集合的出现概率与它的复杂程度的关系,如果以概率取对数为横坐标,以复杂程度为纵坐标,我们得到11.2。从中可以看到复杂程度与概率的对数是良好的线性关系(直线)。

 

通过讨论和这一张图,我们得到了这样一个认识:本模型显示,对于有随机性的广义集合,在一次实现中具体出现那一种广义集合都有可能,但是出现概率高的广义集合恰好是复杂程度也高的广义集合。

§11.4 对模型的推广

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