第七章附录:数学说明

这里对常用的五个数学名词符号做简要说明。它们是

1. 对数
2. 求和符号∑
3. 联乘积符号∏
4. 阶乘!

5. String公式

1. 对数
(采用了《数学小词典》,科学技术出版社,1983,的部分内容,顺至谢意)

100×1000=100000,这也可以写成
102×103=105

这启示两个数相乘可以变成另外两个数(指数)相加。这不仅使一些乘法可以变成加法,也引出了对数这个名词。而关于对数有很多特性。这些在我们的计算中常常用到。这里对此作简要说明。

如果a 是一个不等于1的正实数,对应正实数N ,当有ax=N 时,则把x 叫做以 a 为底的N 的对数,记作x=logaN 。其中a 叫做对数的底数。

显然,有loga1=0,logaa=1

利用指数运算规则可以推出对数的一些运算规则,主要有

loga(N1N2=logaN1+logaN2

loga(N1/N2)=logaN1-logaN2

logaN k=klogaN

对数计算中常常以a=10或者a=e为对数的底。前者为了简捷用lg表示loga,后者用ln表示loge 。这里的e指自然数2.71828...

例如 lg(100×1000)=lg100+lg1000=5

lg(1000/100)=lg1000-lg100=3-2=1

lg105=5lg10=5

另外,不同的底的对数之间可以用如下公式还换算

logax=logbx/logba

如log10(1000)=loge1000/loge10=(6.9/2.3)=3

即lg1000=(ln1000/ln10)=3

2. 求和符号 ∑

如果A=B1+B2+B3+...+Bk

A k B 相加,可以简写为

有时更简单的写成

A=Bi

例如A是从15的五个自然数的相加,有

A=1+2+3+4+5=15,可以写成

3. 联乘积符号 ∏

如果AkB的连乘,即

A=B1×B2×B3×...×Bk

可以写成

符号∏是连乘的意思。它有时简化为

A=Bi

例如A=9×10×11×12可以写成

4. 阶乘符号!

如果N是个自然数,把 1,2,3,...,N N个数联乘起来,一般用N!表示这个特殊的联乘积。它被称为阶乘,并且规定0=1

例如5!=5×4×3×2×1=120

5. Stirling公式

如果自然数N 比较大时,它的阶乘就很大而且不好计算,Stirling公式可以近似计算它。其近似公式是

lnN!=NlnN-N

这里的ln表示以自然数2.78828为底的对数。当N 特别大时上面的公式还可以再简化为

lnN!=NlnN

例如

30=265252859812191058636308480000000

ln30=72.355

Stirling公式有ln30=30ln30-30=72.035

这两个数前两位一样,仅在第三位有差别。

 

--第七章结束--

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