§6.4差运算(-法)

把广义集合A用它的真子集B去减得到的广义集合称为它们的差。其运算等同于它们的对应的多项式的减法运算。记为

A-B=C

例如A={3苹果+2桃子},B={苹果+桃子},

A-B=C={2苹果+桃子}

医院的药房里的不同品种的不同数量的药构成了一个广义集合,一个个的患者来拿药,药房的药就在减少。每个患者拿走的药品就是对原药房药品的广义集合的减法。患者的药单上如果有医院没有的药,医院就拿不出对应的药来。所以减去的广义集合必须是被减的广义集合的子集合。

§6.5交∩运算

个体同种、标志一致(在和运算部分有解释)的两个广义集合的交运算∩可以得到一个新广义集合。它的多项式仅由原广义集合中标志值相同的项组成,这些项的系数是原来的两个对应系数的最小值。如果原来的两个广义集合的多项式中没有相同的项,该广义集合为空集。

例如

A={10苹果+5桃子},B={3桃子+2梨子}

则交运算得到的广义集合C

C={3桃子}

这里的三个桃子是两个广义集合所共有的部分。而苹果和梨不是共有的。

交运算显然满足交换律和结合律。即

AB=BA

(AB)C=(AC)B

§6.6多元广义集合

前面讨论的标志值主要是一元的变量(有时是标量)。在第四章指出过标志值也有两个或者多个分量的情况。例如学校里不同身高与体重的学生各有多少的问题就需要一个二元(维)的标志值的分布函数来回答。现在研究这种广义集合的符号化表示问题和运算规则。

6.6.1原始列表

对全学校1000个学生做一次身高和体重的调查,以编号代替学生姓名,可得一个有三列的表。

表6.5 1000个学生的身高体重表

学生姓名
(个体编号)

身高(m
标志
x

体重(kg
标志
y

1

1.2

18

2

1.5

29

3

1.6

40

4

1.5

31

   

1000

1.3

26

表的第12列是学生身高的广义集合的原始列表。而第13列是学生体重的广义集合的原始列表。根据前面的讨论,不难利用它们整理出两个广义集合的分布函数(表或者多项式)。

但是有3列的这个表也可以回答另外一个问题:不同身高体重的学生各有多少。在这个问题中其标志就不再是一元(维)的变量而是两元(维)的变量了。

6.6.2表示方法

对于学生的身高体重的二元广义集合,如果其身高(标志x)有x1, x2,…, xk 个标志值,而体重(标志y)有y1,y2,…,yl个标志值,我们可以列一个二元的表,而且可以根据原始列表统计出不同的身高和体重的学生各有多少(统计的办法就是合并同类项)。

表6.6 不同身高体重的学生各有多少

 

x1

x2,

xk

y1

n11

n12

...

n1k

y2,

n21

n22

 

n2k

...   ...  

yl

nl1

nl2

 

nlk

这个表显然也可以用一个矩阵的形式给出。另外,多元广义集合的多项式应当写成

A={(个体个数)(多元的标志值,量刚)}

但是注意到物理学中的对量刚的表示,我们可以把这个多元的标志值写成两个(或者多个)一元量刚的相乘。例如

把身高1.5米(xi.)而且体重27千克(yj)写成xi.yj的形式。于是二元广义集合的多项式应当写成

6.3

这里的nij 是身高为xi 体重为yj 的学生的数量。它也就是矩阵形式的广义集合的对应元素。

以上讨论说明标志值是二元的矢量时的广义集合的表示方法可以是用一个矩阵也可以用一个类似于一元广义集合的多项式表示。其差别在于求和号多了一个,标志值是两个标志的乘积型的。显然多元广义集合多项式的表示方法也可以推广到三元或者更高元的情况。

我们见惯了学生的成绩单(列着很多课程的分数)。成绩单是什么?从现在的观点看每个成绩单是一个个体(学生)的标志值这个矢量的各个分量的值。每年参加高考有300万学生。把他们统一编号以后列出每个学生的每门课程的分数。我们就得到了一个有六门课程(高考考六门课)分数的多元的广义集合的原始列表。这里的六门课程的分数就是六元(维)的标志值的6个分量。

我们也见惯了体格检查表。它里面也有很多数据,体重、血压、心跳次数等等。这种表也是多元的广义集合的单个的个体的标志值。有大量的这种表也构成一个广义集合。我们也可以求得其多元分布函数。

二元(多元)广义集合是从两个(多个)侧面(用不同的指标、标志)分析相同的一批个体。

6.6.3 和、差、子集和边缘广义集合

个体同种、标志一致(在和运算部分有解释)的(多个)不同的多元广义集合的并、差以及交的运算可以与一元广义集合的对应运算同样地定义。而其对应的多项式的规则显然是与一元的广义集合是相同的。例如AB两个学校分别得到了学生的身高体重的广义集合分别为

A={∑∑nijxiyj}B={∑∑mijxiyj}

那么把xiyj相同的项(即多元的标志值相同)的系数相加(合并同类项)就得到了它们的和(并)。即

C={∑∑(nij+mij)xiyj}6.4

它表示了两个学校的所有学生中不同身高不同体重的学生各有多少。

关于一元广义集合的子集的定义也同样可以用于多元广义集合。

利用二元广义集合的原始列表不仅可以求它的二元分布函数(矩阵或者多项式)也可以求对某一个标志或者另一个标志的一元分布函数(例如可以求学生的身高的分布函数或者体重的分布函数)。这种一元的分布函数可以直接用原始列表求(合并同类项),也可以利用二元分布函数计算出来。多元分布与一元分布的关系与概率论中的联合概率分布与边缘概率分布的关系类似。我们称这种来自多元广义集合的一元广义集合为该多元广义集合的边缘广义集合、称多元广义集合的这种一元函数为其边缘分布函数(如果是n元广义集合,就应当有n个一元的边缘分布函数)

§6.7积运算(×法)

现在分析广义集合的乘法运算的含义和办法。对广义集合的乘法运算有几层含义。

6.7.1数与广义集合的乘积。

有两个相同的广义集合,其多项式都是{2苹果}。根据广义集合的加法,显然也可以把它们相加,于是得到新的广义集合是{4苹果}。

这个例子说明相同的两个广义集合A相加,而得到的新广义集合其多项式的每一项的系数是原广义集合多项式对应项的系数乘以2。我们规定用2A表示这个新的广义集合。即有

A+A=2A

据此,一个广义集合(如A)与一个正数m乘积(如5A)对应一个新的广义集合,它的各个分布函数值为原广义集合的分布函数值的m倍。用多项式乘法表示就是正数m与广义集合A相乘,得到的广义集合的多项式的每一项的系数都是原来的系数乘上该正数。

以符号表示这种乘法就是

m×A={m×n1x1+m×n2x2+…+m×nkxk} (6.5

这里说的正数一般指正整数,如果是正的分数,只要保证与每个标志值对应的个体的数量的乘积为正整数也是可以的(无理数不行)。

以上分析可以推广到更一般的情况例如l,m,n是A、B、C三个广义集合的对应的系数,它们都是正数,就有

lA+mB+nC=D

表示了三个广义集合分别乘以不同的系数后再相加,其得到的D仍然是一个广义集合,它的多项式就是前面的三个广义集合多项式的代数运算结果。

老板决定把他的ABC三个分店的每种商品都抽出20%送到新成立的D店去。D店的商品显然可以用这个公式计算出来(l=m=n=0.2)。

6.7.2广义集合与广义集合的乘积

两个广义集合AB的多项式依照代数学的规则做乘法×,就得到一个新的多项式,它对应的广义集合C被称为AB这两个广义集合的乘积。即

C=A×B

这里

A={n1x1+n2x2+…}
B={m1y1+m2y2+…}
C={( n1x1+n2x2+…)×( m1y1+m2y2+…)}
C=
{∑∑nimjxiyj} (6.6)

这里用×表示乘号,并且一如数学中的做法,它也可以省略,即

A×B=AB

由于定义的乘法就是代数学中多项式的乘法,所以广义集合的乘法满足交换律和结合律。

由于形式地令各个变量xy都等于1,前面的定义式就变成了

A=n1+n2+…=N
B=m1+m2+…=M

此时C=NM。这说明如果A的个体个数是NB的个体个数是M,广义集合C的个体的个数应当等于MN

广义集合的乘法对应于集合的迪卡尔积。

§6.8除运算(÷法)

广义集合也可以做除法。广义集合的除法有两种,广义集合被数除,广义集合被广义集合除。

6.8.1用数除广义集合

过去曾经允许一个小于1的去乘一个广义集合。这种乘法的存在就说明广义集合可以做除法。

用一个正数去除广义集合的每个标志值的个数,得到的新广义集合就是这个数除广义集合的结果。既

6.7

显然以上的除法也要求m对每个标志值的个体数的商应当是正整数。

老板又开了一家分店,他把总店的一半的商品拿到分店就是对每种商品的数量都除2

6.8.2广义集合相除

10里面有几个5这是两个数的相除问题。广义集合A里有几个广义集合B?这就是两个广义集合相除问题。例如广义集合A={30苹果+40桃子+60香蕉},按B={3苹果+4桃子+6香蕉}的标准可以分成多少水果盘,余多少?这个问题与105是一个类型。但是它是广义集合与广义集合的除法。

广义集合怎么做除法?从形式上说广义集合的除法与代数中的多项式的除法是相同的。仿照多项式的除法,它们也可以除不尽。这时的余式应当是一个另外一个广义集合。

§6.9连续变量

我们曾经把标志值分成数值变量(如工资金额,它们一般是有单位的)和字符变量(如苹果、桃子)这两种情况讨论。但是前面对数值变量的分析主要是针对离散的数值变量进行的。例如分析学校时学生的年级是标志值。它就是一、二、三、…6个可能值。这些数仅能是离散的数,而不会有2.3年级、5.4年级出现。在实际工作中我们会遇到很多标志值不仅是数值变量,而且还是可以连续变化的物理量。例如分析学校中不同身高的学生各有多少时其标志值(身高)就是个可以连续变化的量。本节讨论标志值是连续的数值变量的问题。

处理连续变量的一个方法是使它离散化。例如学生年龄本来是连续变量。我们可以把它分成8岁的、9岁的、10岁的学生等等。这里的年龄为8岁的学生实际上指的是8-9岁这个有365天的区间。把连续变量变成了离散的一段一段的彼此不重叠的小区间就是一种处理办法。由于这种处理方法是把连续变量离散化,它也可以和离散的标志值一样地有广义集合的多项式。这时关于广义集合多项式的一些运算规则对它也是有效的。

很多用数学表达式表示的分布函数是连续变量型的标志值。例如人的体重服从所谓正态分布(高斯分布),是说体重介于xx+1之间的人在人群中占的百分比y符合数学表达式 y=aexp[-b(x-c)2]。这种连续变量型的分布函数本身已经是数学符号化了。它们的地位与离散变量情况下的广义集合多项式是平等的。它们的运算规则是数学上早已经明确的。我们后面会遇到很多这种分布函数。在需要作数学处理时直接引用数学运算规则就可以了。

简而言之,标志值是连续变量时其分布函数经常可以用一个数学表达式表示。而数学表达式已经是数学符号化的表示变量关系的方法了。我们在必要时可以引入关于它们的一般数学知识。标志值是离散值时(包括连续变量离散化)它可以是数值,也可以是字符串变量。但是它们都可以用本章引用的广义集合多项式的方法表示和运算。

§6.10小结

用符号代表一些数量、关系、运算是数学现代化的重要部分。集合已经符号化了。广义集合也只有符号化以后才能在科学园地里立足。

我们把广义集合定义在它的分布函数上。即明确了一个分布函数也就明确一个广义集合(不一定知道它的原始列表)。当广义集合的分布函数不是连续函数时固然可以用表或者图表示它。但是它们的符号化的程度是不够的。出路何在?我们发现离散的标志值的分布函数也可以写成“多项式”的形式。而且发现关于广义集合的一些运算也就是对其多项式按照代数学中的多项式的运算规则进行运算。这方便了我们对问题的处理,也使含有数字和字符串的混合运算找到了出路。这也为符号的运算扩大了领地。

具体地说,符号化就是用符号代表标志值(含量刚等),再加上一些规定(如用+号表示“并且有”、“以及”),就得到了广义集合的多项式表示方法和运算规则。例如用符号x表示某个标志值、用5x表示有5个个体的标志值是x、用{3苹果+2梨}表示三个苹果以及两个梨。它把广义集合表示为一个在外型与多项式相同的表示式。通过对一些运算规则的分析可以看到这种表示广义集合的方法是有不少优点的(后面还有更多的应用)。

本章引入的最重要的概念是广义集合多项式。它是表示广义集合的一种新的简明方法或者说是分布函数的变态。它外型与多项式相同却有着另一种含义。在广义集合多项式中我们也进而借用了代数学中的“项”、“系数”等名称以及加减求和等符号。

过去有关于集合的运算和关于数值(含矢量、矩阵等)的运算的知识。由于广义集合考虑性质不同的事物有那些又考虑性质相同事物有多少,结果是它在运算上混有集合运算和数值运算。把它们联系起来考虑确实使问题复杂化了,而优点是它表达的客观事物也丰富多了。

从某种角度看广义集合就是把客观事物解剖为一个表(分布函数)。而关于广义集合的运算也就是对表(某些)的运算。我们用广义集合多项式的方法描述广义集合,并且找到了一些运算规则。这简化了我们对表的运算,也为计算机编程计算对应的问题提供了理论依据。也许广义集合的运算会发展成关于表的一套代数学。笔者写的《字符多项式与表格数学》[4]讨论的比较细。由于它可能是一个重要发展领域,所以把该文作为附录(1)列在书后。

用多项式运算广义集合时关于个体的含义以及关于标志的注意事项可能让大家心烦(对它的解释在目前也还比较笨)。但是为了使运算保持明确的物理意义,这是必须的。现在用一个表把几种运算中的注意条件统一表示出来可能有利与掌握。

表6.7 广义集合的运算规则与要求条件表

 

从原始列表求广义集合多项式

广义集合的和(并)

广义集合的差

广义集合的交

广义集合的积

对个体的要求

含义相同(每个个体身份相同,单位相同,下同)

含义相同

含义相同

含义相同

含义相同

对标志的要求

种类相同

种类相同

种类相同

种类相同

 

多项式运算内容

合并同类项

多项式相加

多项式相减

取两个广义集合多项式的同类项、系数相加

多项式乘法

交换律

遵守

遵守

不遵守

遵守

遵守

结合律

遵守

遵守

不遵守

遵守

遵守

受集合运算和代数运算的启发,对新定义的广义集合也初步得到了一些关系和规则。集合论和代数学都是个庞大的知识体系了,而广义集合的知识积累现在仅仅是开始。作为数学的局外人我能力有限,如果数学界承认引出了一个值得进一步研究的问题,这已经是对我回报了。话说回来。笔者也是为了描写丰富的物理现实而逼上寻找抽象的数学工具的道路的。我可能在数学上命名不当,但是数学应当为这些丰富的物理现实给出对应的抽象模型。

广义集合多项式是描述广义集合的分布函数的一种方法。它主要用于标志值为离散型的场合。广义集合的标志值为连续变量型时其分布函数有很多是可以用数学表达式(数学公式)描写的。关于它们的运算规则属于一般数学知识,我们在需要时取用它们就可以了。

本章中立的“名”(如广义集合多项式等)妥当吗?我们找到的关系准确吗?这里显然留有很多值得思考的地方,也希望读者不吝指正与讨论。

第六章问题:

1.       广义集合的多项式与代数中的多项式有什么相同和不同之处?

2.       给出两个广义集合,用广义集合多项式表示它的分布函数。

3.       那些广义集合分布函数可以用多项式表示?

4.       复习第二章 “原始列表”的含义;对于可以用广义集合多项式表示的广义集合,如何从原始列表求分布函数?

5.       用广义集合多项式格式表示:石灰石分子(CaCO3)、一付中国象棋。分别说明在这两个广义集合中各自的“个体”的含义。

6.       给出两个广义集合,并且说明它们可以用多项式进行加法运算。运算得到的分布函数的物理意义是什么?

7.       引入广义集合多项式有什么好处?

 

 

--第六章结束--

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