在数学中一切进步都是引入符号(表意符号)后的反映

--皮亚诺(G.Peano)

广义集合可以用“多项式”表示,并且可以运算。

 

第六章广义集合多项式和运算

 

科学的繁荣首先归功于它凝结了可以准确反映客观事物的概念,而这些概念可以定量化更是它身价不凡的重要标志。在数学中不仅要有准确的可以定量的概念,还要求符号化。数学的发展始终与它的重要概念、运算的符号化联系着。广义集合里既有字符(标志值,过去称为元素)又有(个体)。如何用符号表示它们以及它们的运算性就成了新问题。

这里引入的广义集合多项式是让广义集合符号化的一种办法。我们定义了它的一些运算方法发现了一些运算规则。利用广义集合的符号化有利于揭示它的客观规律也便于编程后让计算机自动运算。而这些运算规则的存在也巩固了广义集合概念在科学上的地位。


§6.1多项式

这里引入一种符号系统用以表示离散型(标志值是分立的)的广义集合。

广义集合的最基本的表示方法是其原始列表(并不是每个广义集合都可以给出这个原始列表)。它仅有两列(或者两行),一是个体的编号,另一是该个体的标志值。如果广义集合有4000个个体它的原始列表就有4000行(列)。显然这个方案比较笨。而在一些场合我们还不可能得到它。

6.1 广义集合的原始列表可能很大(长),这个表有4001

个体(学生)编号

1

2

4000

该个体的标志值
(如身高,米)

1.5

1.6

1.4

分布函数的引入使广义集合可以用不同的标志值的个体各有多少的模型来表示。分布函数是函数的一种,它的表示方法也与表示函数的通用方法相同:列表、制图和数学公式(如果可能)。显然用分布函数表示广义集合就没有原始列表那么繁琐。所以说分布函数的引入精练了对广义集合的表述。

现在联系着广义集合的符号化,再引入一种表示广义集合的多项式方法。它是列表和制图表示一个函数的方法的新变种,也是用新型的公式描述离散型广义集合的方法。

一个水果盘里有两个苹果、三个桃子和四个梨子,这就是一个广义集合。把这个广义集合称为A(水果),规定它可以用下式表述

A(水果)={2苹果+3桃子+4梨子}

仿此,一个硫酸分子B 的广义集合写成

B(硫酸)={2H+S+4O}

这里用HSO分别代表氢、硫磺和氧原子,并且当个体个数为1时省略了数码1。综合前面的例子,广义集合(如A)有如下符号化规则:

如果一个广义集合的各个标志值表示为 x1x2 x3 …,xi …,xk

而各个标志值对应的个体数量如果是 n1n2 n3 …,ni nk

则广义集合A(x) 写成

A(x)={n1x1+ n2x2+ n3x3++ nixi++ nxk} 6.1

或者简化为

6.2

或者

我们把(6.1)或者(6.2)式的右侧称为广义集合多项式,把nixi称为(借用代数语言)。n 也称为标志值系数或者简称为系数

这是广义集合的简练的表示法。要说明的是:

这种符号表示法中广义集合本身用大写、粗体、斜体英文字母表示。大写、斜体是照顾了原集合符号的习惯,而粗体是它与集合的区别,粗体也照顾了数学中对矢量的表示常常用粗体的习惯。大写广义集合代表符号后面跟着的圆括号内的符号代表标志值的通称,在意义明确时,或者不便表达时也可以略去;

花括弧符号{}是从“集合”的习惯,用以表示它不是一般的多项式;

各个个体的标志值用斜体xi表示,它的身份并不是数学上的数,而是有特定含义的字符串,一般而言它是含有单位的。要特别注意它与前面的系数的关系不是数学中的乘法关系,仅仅表示标志值为xi 的个体有ni个。既便它是数值变量,在当前意义下也不是说它可以与系数做乘法(与多项式不同)。如用x表示标志值为“10岁”(的学生)时,15x,仅表示10岁的学生有15人,而不表示有150岁的学生。

个体的数量用n表示,它隐含的单位一般是“个”。在特殊情况下,由于个体的数量太多,它也可以是例如1000个、106个、摩尔数(用于化学或者物理学中,1摩尔=6.022×1023个)等等;

符号∑和+号显然是从代数学中借来的,用以表示多个类似的对象的“+”。此处的+号仅表示“并且有”“加上”或者说“以及”的意思

以上讨论表明广义集合可以表述为一个“广义集合多项式”。如果不同的标志值有k个,它就有k项,每项由标志值和它前面的一个正整数组成。各个项之间用“+”号相联以表示它们是“并且有”或者“以及”的关系。

100个杯子(25个红的、40个黄的和35个兰的)组成一个广义集合E。这可以用表6.2表示。

表6.2不同的杯子各有多少

红杯子

黄杯子

蓝杯子

25

40

35

用新符号写成:

E(杯子)={25红杯子+40黄杯子+35蓝杯子},写成通式为:

E(杯子)={25x1+40x2+35x3}

25x1”表示有红色的杯子有25右边式子已经与一般多项式很类似了。只是这里的标志值x竟然表示“红杯子”、“黄杯子”或者“蓝杯子”,大家不大习惯。但是在新概念和新规则下它们都是合理的表示式

广义集合多项式是离散型(标志值仅能离散地、分立地取值)的广义集合的分布函数的一种表示方法。由此也可以分析离散情况下的相对分布函数的广义集合的多项式问题。这种分布函数的特点是各个标志值前面的个体个数都小于等于1,并且它们的和应当等于1 (归一)。

例如D={0.25红杯子+0.40黄杯子+0.35蓝杯子}就是一个“归一”的广义集合多项式(其系数对应相对分布函数,含义是红、黄、兰色的杯子分别占25%、40%、35%)。

候选人甲、乙分别得了30票和6票,用广义集合A表示为={30+6乙}。但是甲得36票乙为0票也可以写为={36+0乙}。甲乙两队的足球赛的结果是30,这是老的习惯写法,我们用广义集合多项式表示为{3+0乙}。

上面的分析归结为:在广义集合多项式中允许有个体的个数为0的项存在(可以添加)。另外我们把广义集合多项式的每一项的系数都是0 的广义集合称为空集。

也可以为广义集合规定其他的符号化办法,但是本方法的好处在后面的运算中就显示出来了。

§6.2关系

两个广义集合AB 相等A=B的含义是它们的多项式相等(每一项都在对方的多项式中有相同的项)。

这里l=k ,即两个广义集合中不同的标志值的数量要一样多;ni=mi xi=yi i=1,2,…,k ,就表示A=B

这里ni=mi 的含义不仅包括对应的系数相等也包括了“个体”的含义相同(后面对此有更细的说明)。xi=yi的含义是两个标志值的物理含义和单位都相同。例如xi代表“温度为摄氏8.0-10.0度”,那么yi不仅要代表温度,而且要也用摄氏这个单位,而且也要指8.0-10.0这个区间(后面也有更细的说明)。

另外,如果

  1. 广义集合B 的多项式里的项比A 中的少或者相同标志值的项的系数比A 小,并且

  2. B 中没有A 中不包括的项

就说BA真子集,或者说B 属于A 。仿照集合论,也可以写为

例如有三个广义集合ABC都代表三付中药(或者说三个处方),abc代表三种中药名称。

A={10a+5b+2c} B={10a+5b} C={10a+2b}

如果在所研究的总体中,一切的广义集合都是某广义集合的子集,仿照集合论,我们称它为全集,并且以I 表示它。

这样我们就仿照集合论初步规定了关于广义集合的关系。

§6.3和运算(+法)

6.3.1运算

A 小学有六个年级,每个年级的学生人数可以用表6.3a表示

表6.3a A小学不同年级的学生人数

一年级(x1

二年级(x2

三年级(x3

四年级(x4

五年级(x5

六年级(x6

30个学生

28个学生

26个学生

25个学生

28个学生

30个学生

它与仅有一、二年级的B 小学合并后成为C 小学。这里的B 小学用表6.3b表示。

表6.3b B小学不同年级的学生人数

一年级(x1

二年级(x2

15个学生

14个学生

合并后每个学生的年级不变,显然C小学每个年级的学生人数是对应年级的学生人数的和。即有表6.3c 。

表6.3c C小学不同年级的学生人数

一年级(x1

二年级(x2

三年级(x3

四年级(x4

五年级(x5

六年级(x6

45个学生

42个学生

26个学生

25个学生

28个学生

30个学生

用广义集合符号表示就是

C=A+B

用多项式表示有

A={30 x1+28 x2+26 x3+25 x4+28 x5+30 x6}
B={15 x1+14 x2}
C={(30+15)x1+(28+14) x2+26 x3+25 x4+28 x5+30 x6}
C={45 x1+42 x2+26 x3+25 x4+28 x5+30 x6}

广义集合C 的多项式显然是A B 的多项式的代数和。这个例子表明:

当两个广义集合个体同种而且标志一致时可以做加(并)运算,其运算就是对应的多项式的加法

看来广义集合也可以做和(并)运算,而且其中包含标志值的“并”和个体个数的“加”。借助多项式,其并运算简化为代数学中的合并同类项

6.3.2对个体和标志的说明

在上面的说明中“个体同种”是指做“和”运算的两个广义集合中所有个体是相同的种类(在分类上有相同的地位)例如它们都是指“羊的个数”,而不能一个指羊的个数另一个指毡房的个数。也不能一个是羊的个数,一个指羊的群数(单位不同)。在第二章中我们曾经讨论过个体同种的含义。

标志一致”是个比较含糊的用语。当标志值为数量时,它要求各个标志值的量刚、单位都相同(一致);当标志值不是数量而是名词(或者含有定语的名词)时,它要求这些名词或者相同(可以作为同类项而把系数相加)或者名词是在一个分类级别上的不同的“子类”,此时不是同类项。

例如广义集合A表示甲学校不同体重的学生各有多少,广义集合B也表示乙学校不同体重的学生各有多少,这时它们的标志是一致的,所以可以做并处理(加法)。如果乙学校的广义集合是学生的身高,由于身高与体重不是相同的单位,它们不能做和运算(不能相加)。这与物理学中的不同单位、量刚的量不能相加是一个的道理。

又如广义集合C={2篮球+足球},广义集合D={3排球+5网球},则C+D={2篮球+足球+3排球+5网球}。这里的标志值是名词,两个广义集合中的个体都是球类,而“标志”都是球类中的不同的子类(篮球、排球)。这种情况显然是可以相加的。如果广义集合E={3红球+5黄球},它与A可以相加吗?显然不可以。因为红球可能就是篮球、黄球说不定是足球,这两个广义集合的标志的含义是不一致的,所以它们不能相加。

和(并)运算中“标志”一致的含义就在于此。这些问题说明广义集合给了我们处理不同含义的事物做加法的权利,但是使用时不能乱用,要注意结果要有明确的物理含义。

广义集合的“个体同种”、 “标志一致”是广义集合运算中经常要考虑的问题,以后再遇到这种名称我们不另解释了。

广义集合的和(并)运算比集合的并运算复杂。它是集合的与代数的的混合物。但是做运算后得到的仍然是一个广义集合。而其物理意义也与我们的社会经验一致。

6.3.3规则

对于并运算显然与广义集合的顺序没有关系,所以交换律是成立的。即

A+B=B+A

而且结合律也成立。即

(A+B)+C=A+(B+C)

基于对广义集合多项式的解释,显然广义集合多项式内的各个项的顺序如果做了颠倒,它与原广义集合多项式是相同的。即它的多项式在这方面与普通多项式有相同的性质。

6.3.4原始列表的多项式

知道了广义集合的并运算,也就可以把广义集合的原始列表写成了一个广义集合多项式形式,广义集合的原始列表的多项式的特点是它每一项的系数都是1(所以省略了)。

另外,显然,从有编号的个体的广义集合的原始列表求分布函数的过程就是原始列表的多项式的合并同类项的过程

在第三章我们曾经用了很多篇幅说明的统计计算分布函数的过程,而在有了符号化语言后这些竟然简化为一句话了。这说明了符号化的优点,这也为计算机编程序理请了思路

一个班9个学生,表示学生成绩(甲,乙,丙)的广义集合A的原始列表为表6.4 。

表6.4 不同学生的成绩表

学生编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

成绩

写成多项式的原始列表格式就是A={甲+乙+甲+丙+甲+乙+乙+甲+丙}。合并同类项得

A={4甲+3乙+2丙}

第一个多项式是广义集合的原始列表的多项式,而合并同类项后的第二个多项式就是广义集合的多项式表示了。

6.3.5白马非马

前面例子里讨论了“个体”含义(名称、单位)相同的广义集合的并。有些广义集合的个体的含义并不同,但是有时改变对个体的含义也可以使它们做并运算。

三个苹果加两个苹果是几个?学生答五个。三个苹果加两个桃子等于什么?学生答它们不能加(谁把不同含义的量加到一起老师肯定给零分)。但是有了广义集合概念问题就可以变为两个广义集合的并:三个苹果是一个广义集合,两个桃子也是一个广义集合。前者的个体是一个苹果。或者的个体是一个桃子。如果把眼界放宽,把个体从具体的苹果或者桃子泛化为水果,而把苹果和桃子理解为标志值不同的水果。那么苹果和桃子都是含义相同的个体了。这时它们就可以做广义集合的并运算,从而得到该广义集合={3苹果+2桃子}(老师不能说你错了,但“+”号不能再简化!)。

中国古代哲学的一个辩论题是“白马非马”,即白马并不是马。用现在语言说,个体是马,而白色是马的皮肤的颜色,它仅是一种标志值。所以在我们的语言中白马当然是马。

§6.4-运算(减法)