§5·概率的新定义

前面说明了数学上过去定义的概率与广义集合中的相对分布函数的值相等。但是我们也可以反过来直接用广义集合的语言定义概率。这样神秘的概率又多了一个更通俗的定义。

对于离散场合(各标志值仅离散取值),概率可以这样定义:广义集合AN个个体,如果标志值为xi 的个体有ni个,当对广义集合进行随机抽样时,一次抽得的结果为xi 的概率p(xi)就定义为p(xi)=ni/N

即某标志值在一次抽样中出现的概率等于具有该标志值的个体的数量与广义集合内个体总数的比值。

对于连续场合(各标志值连续变化),概率密度可以这样定义:当广义集合的个体数量为N,标志值出现于x→x+Δx的个体数量为nΔx,对广义集合进行随机抽样时,标志值(随机变量)x 出现于(x-0.5)→(x+0.5)之间的概率就定义为n/N

不失一般性,上面的n 应当与标志值 x 的值有关,所以 n/N 应当是标志值的函数,例如记为f(x) 。在概率论中一般把它称为概率密度分布函数。

用广义集合语言定义的概率与概率的古典定义很接近。后面在某些场合我们将利用这个定义。

概率与不确定性联系着,而广义集合似乎都理解为确定性的事物。用广义集合定义概率似乎混淆了随机性与确定性的界限。下面一节我们讨论这些半哲学的问题。

§5·8 确定性与随机性

牛顿力学的成功使人们认为一切事物都有内在的必然性,以至未来的一切都由现在的情况所决定。这导致哲学上的确定论的形成。20世纪以来概率概念在科学领域的渗透、很多自然现象中存在着随机性(不再必然是某某,而是“可能是这个也可能是另外的”),又使一批科学界的新领袖宣传随机性是客观事物的本性,于是又出现了随机论。究竟确定论对还是随机论对已经成为当前的热门问题。

我对这些问题没有成熟的看法,但我偏重于这样一种看法:确定性与随机性可能仅是我们观察问题的角度不同而得出的看法,似乎没有必要回答某个客观事物仅是确定性的或者随机性的。

概率的新定义可能帮助我们看到这个观点的含义。由3个红球2个黄球组成的广义集合是一个确定性的客观事物。但是如果设想一个随机抽样实验,即从5个球中任取一个,那么抽得什么颜色的球就具有随机性,而且我们可能计算出抽得例如红球的概率为0.6 。至于抽样实验做与不做都是你的事,但是从这个角度看问题,我们就可能把一个完全确定性的客观事物变成了另外一个含有随机性的客观事件。虽说它具有随机性,但大家也都明白,随机性实验中的概率分布必然恰好与广义集合的确定性的分布函数对应。即概率分布本身则是确定性的函数。

本章讨论了物理场,如一个地形图,它是一个确定性的场。但是把场内的每个大小相同的小面积看成是个体,而且做一个抽样实验,任取一个小面积,那么该面积对应的海拔高度就变成了随机变量,该实验结局就构成了一个随机性的客观事物了。

量子力学阐明了电子在原子核外的运动规律,但是它用的是概率分布类型的语言。于是很多人说电子在某时刻究竟在什么地方是不可知的。我们在本章第3节说明古典的机械运动也可以用概率语言描述。这已经提示我们量子力学对微观世界的描述是正确的但是它并不是完备的。

当我们从5个球中任取一个的时候,其结局有随机性,但是当已经知道取的球是红球时,其随机性也就没有了。我们得到了一个知识:抽得的是红球。于是随机性又回到了确定性。信息论标榜自己是建筑在概率论上的。但是它对信息量的定义实际是抽样实验(观测,接受到通信信号等)前的随机性(不确定性)与抽样后的确定性的差(见第八章),或者说不确定性的减小量就是得到的信息量。所以信息论中同时使用着确定性和随机性的概念。

我们与其在确定论与随机论中支持一派不如根据问题选择合适的视角。

§5.9 小结

对广义集合的分类的研究进一步说明它在很多领域都存在对应的事物,它是描述很多问题的统一的强有力的模型。对运动的广义集合和物理场的广义集合还有很多问题要值得深入的分析。但现在就此搁笔了。

这里用表(5.3)概括前面介绍的六类广义集合作为本章的小结。

表(5.3六类广义集合的特点

类型

个体的特点

标志值的特点

例子

物质组成

物质名词(种)

物质名词(属)

三个苹果两个梨、中医处方

时空场

空间、时间单元

空间或者时间的编号

一年有四季、礼堂座位编号

运动

时间单元

物体在空间的位置

一辆运营中的公共汽车。

物理场

空间单元(有时也是质量)

物体在该处的特征值

一张有等高线的地图

随机实验
与概率

每次随机实验

实验的结果

掷一次骰子

抽象事物 视问题而定 视问题而定 所有由假想事物构成(并不真的存在)的广义集合都是其例。

本章还引申出用广义集合语言为概率下的新定义,即某标志值在一次抽样中出现的概率等于具有该标志值的个体的数量与广义集合内个体总数的比值。它更简单通俗。

下一章讨论表示广义集合一种简练的方法以及它的运算规则。

第五章问题:

1.       举例说明描述运动和物理场的广义集合。

2.       时间和空间的广义集合的分布函数有什么特点?

3.       简述概率的新定义。

4.       试从概率的新定义分析个体概念中的全同性的重要性。

 

---第五章结束--

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