§5·4 物理场的广义集合

各地的拔海高度不等,在地图是怎么表示它?人们想出了把高度相等的点连成等高度线的表示方法。当地图上绘出很多组高度不同的等高线时,该地区的地面的高低不平的具体情况就被描述出来。此时我们说这些等高线的分布构成了一个物理场

在图(5.3)中绘出了一个小山包的地形等高线。包围最深色的区域的是300米等高度线(海拔),依次还有200米和100米等高线。这个简单的地形图就是一个物理场。把海拔高度看成标志值,可以问:不同海拔各占了多少面积?这已经是广义集合的语言了。

(5.3)用高度不同的地形等高线描述一个小山包

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  表(5.2)给出了海拔高度不同的区域占的不同的面积,它就是这个广义集合的分布函数。

表(5.2)图(5.3)中不同高度占的面积(示意)

海拔介于100-200米的面积

12平方公里

海拔介于200-300米的面积

5平方公里

海拔高于300米的面积

2平方公里

物理场的例子非常多。在一个海域由于各处温度不同而绘出海面的各个等温度线,它描述了温度场。气象人员又分析海平面上的不同的大气压力图。地理学在分析人口在各地的不均匀分布所有这些都是“物理场”的个例。

空间中A处有一个电量为Q的点电荷,它周围的空间中就构成了一个电位场。这也就是一个物理场。我们不仅可以把它看成是一个广义集合也可以计算这个物理场中电位的分布函数,即计算不同的电位占的空间是多少。由于电位和空间都是连续变量,用连续变量处理比较方便。

根据电学定律,与A点相距为r 处的电位u u=kQ/r ,它是一个球型壳(k 是个常数)。所以电位介于u-u+Δu 之间占的体积v 是厚度为Δr 的球型薄壳,其体积应当是4πr2×Δr 。即电位改变Δu 对应的体积的变化是4πr2×Δr 。这已经是问题的答案了。

把这个体积用Δu 除,就得到标志值(电位值)每改变单位值对应的体积变化。把u=kQ/r 做微分,得Δu=-kQΔr/r2,把它代如前面的除式,得到

(dV/du)=-4πk3Q3/u4

公式的负号表示电位加大空间要变小。我们关心的仅是电位变化引起的空间的绝对量的变化。以g(u)表示标志值(电位u)改变单位值引起的对应的体积的变化,也可以写

g(u)=4πk3Q3/u4

它就是连续变化型(见第三章)的标志值的分布函数的公式,这里我们把它表示为电位的函数了。这样我们就得到了一种物理场(电位场)的分布函数(不同电位占的空间大小与点电荷的距离的关系)的数学表达式。

我们每天看的电视屏幕、电脑的显示器都是把一个有限的平面空间分成很多面积相等的小面积元(像素),每个像素就是一个个体。而每个个体的颜色就是标志值。这些像素共同构成了一副画面。对此我们可以问不同的颜色各有多少像素,这个问题的科学提出已经表示了我们承认电视屏幕就是一个物理场型的广义集合。

物理场是一块处处都有物质(如包围地球的大气)或者物质的某属性(如物质的密度、电位、引力位势、显示器屏幕颜色)的空间。把这个空间分成充分小的彼此相等的小空间以后,一方面把它看成是广义集合中的众多的个体,另一方面由于它充分小而认为每个小空间都有唯一的标志值(如拔海高度、温度、电位、屏幕颜色、人口密度等等)。这样就满足了广义集合的定义。于是可以问:不同的标志值(拔海、温度、电位)占了多少空间(多少个个体)?这个问题的答案就是这个广义集合的分布函数。这样我们就提供了一个思路,它使我们认识到一切的“物理场”都是一个广义集合。

概括地说,把物理场的空间划分成体积(有时是面积甚至长度或者质量等等)相等的很多个个体,当个体体积充分小以使每个个体仅有唯一的标志值时就可以计算不同的标志值占了多少空间(质量等)。这就构成了一个有明确的分布函数的物理场的广义集合。物理场的广义集合中的个体是空间(有时也是质量等),而标志值是空间中每个个体都具有的唯一的某物理量。

在第三篇我们要介绍很多的物理场。

§5·5 随机实验和概率的广义集合

在现代科学中统计数学的应用很广。统计数学中介绍一些随机抽样实验(例如把一个硬币掷很多次统计正面向上次数)以及与这些实验联系的理论——概率论。现在分析抽样实验和概率论中的很多概率分布函数与广义集合的关系。

概括地说,把统计学里的随机实验的结局(如掷硬币的结果)看成是一个广义集合、把每次实验看成是一个个体、把实验的结局(也称为随机变量)看成的标志值,那么这个广义集合的分布函数就是统计学中的所谓频率分布。所以,广义集合分布函数的语言与统计实验用的语言是等价的。

与统计(随机抽样)实验相配合的理论是概率论。概率论中概率是核心概念,其定义有多种。其中的一种是所谓概率的古典定义。

一个事件的出现概率 p 被定义为

p=(有利结局个数)/(全部可能结局的个数)

如果从个体个数为 N 的广义集合中任抽一个个体,某特定个体被抽中的概率应当是1/N 。这是因为全部可能结局的个数是N 个,而有利该特定结局的事件仅有一个(这里还隐含了一层认识,由于每个个体的地位相同,它们中任一个被抽中的可能性都相同——我们前面定义广义集合时要求个体地位相同的用意也在于此)。

如果该广义集合中标志值为xi的个体有ni个,显然从广义集合中任取一个个体,其标志值为xi 的概率p(xi)根据古典概率定义应当等于

p(xi)=xi/N

注意到这个广义集合中标志值为xi的分布函数值是ni,其相对分布函数值(见第3章,分布函数值被N 除)是ni/N 所以根据古典概率定义,广义集合的相对分布函数恰好是从广义集合中抽取一个个体时xi的出现概率P(xi) 。换言之在抽样实验中的各个概率值对应于广义集合的相对分布函数

根据这些分析我们可以把统计实验的结局和概率论中的概率分布函数都看成是广义集合的一些变态。即它们都是广义集合的特例。

在后面的最复杂原理的理论分析中还将看到理论分析出来的某些广义集合的分布函数就是概率论中的分布函数。即有时它们是完全等价的(名称和量刚上小有差错)。

广义集合、分布函数概念与统计抽样、概率论中的概率分布概念的一致性不仅扩大了广义集合的应用范围,也为吸收概率论的成果提供了方便。坦率地讲,提出广义集合和分布函数就是为了把概率论知识更方便地用到更多的非概率非抽样的场合中去。

§5·6 抽象事物的广义集合

上面介绍的五种广义集合是针对客观物质、客观的时间空间、物质的运动和对这些客观事物做的统计实验而提出的。但是,广义集合概念本身是对这些类型的客观事物的一种抽象概括,即广义集合本身是一个抽象概念。

广义集合概念是否仅可以描述客观事物,而不能描述抽象事物呢?不是,广义集合也可以描述抽象事物。

我口袋里有两张100元、三张50元和四张10元的人民币。我们可以把它们看到是一个确定的广义集合。它们是客观存在的事物。

但是为了某种目的(如向学生说明概念)说:我有10000张100元的和20000张50元的人民币。我们当然可以说这些人民币构成了一个广义集合。但是在这里并不表示我真的是个富翁(有这么的钞票),而仅是抽象的描述一个想象中的抽象事物。这个广义集合实际上仅是一个描述抽象事物的广义集合。

物理学研究客观事物,但是物理学书籍中的大多数例题实际上并不客观存在。仅是人们在学习了物理原理以后不怀疑这样的例题一定可以存在,也就忽视了例题本身的抽象性,而仅注意到它反映了客观事物。

我们在本书中举了很多广义集合的例子。这些例子都是想象出来的,从这个角度看也可以说它们都是抽象的广义集合。

描述想象(抽象,不一定存在)中的事物的广义集合称为抽象的广义集合。

为了说明上的方便,上一节把概率分布与抽样实验一并归入为一类(第五类)广义集合。严格地说概率分布更应当看成是抽象的广义集合。

广义集合是个抽象概念,它可以描述描写客观存在的事物,也可以描述描写抽象的事物。

 

§5·概率的新定义