广义集合可以用来描述物质组成、时间空间、运动、物理场、抽样实验结局和抽象事物。

概率的新定义。

 

第五章广义集合分类(2000.02)

在第四章,抽象的广义集合概念已经在日常生活、自然、社会这些领域找到了比较熟悉的对应物,它说明了广义集合有能力描述很多客观事物。本章仍然研究广义集合在物质世界的对应物问题,但是它不再是从老的学科分类框架中挑选符合广义集合含义的个例,而是从个体和标志值的主要物理特征出发把广义集合的应用分成了如下六类

物质组成性的广义集合;

时空(场)的广义集合;

运动的广义集合;

物理场的广义集合;

随机抽样的广义集合

抽象事物的广义集合

新的分类把广义集合概念用到例如空间和时间运动物理场随机抽样等等场合去。理解这些问题比理解上一章的内容要困难一些。但是理解了它们就为你在更广泛的领域应用广义集合和分布函数提供了思路。

本章还要用广义集合概念定义概率

§5·1 物质组成的广义集合

物质组成性的广义集合是把某一大类物质(种,所有的个体),分成(各个标志值)若干个小类(属)。其个体是物质名词,其标志值可能也是物质名词或者物质的某种属性。

前面介绍的生活中遇到的事物和100个例子中的广义集合的大多数都是物质组成性的广义集合。例如由3个苹果4个香蕉两个橘子组成的一堆水果、由12名运动员、3名教练、一名领队、两名工作人员组成的一个体育代表团、由氢氧硫原子组成的一个硫酸分子、一个商店中不同名称的商品各有多少等等都是例子。这些例子里个体是物质名词,而标志值也是物质名词(或者是加了形容词的名词等)。

我们把身高不同的学生、工资不同的员工、速度不同的分子等等也都归入描述物质组成性的广义集合内。因为它的个体是物质名词,而标志值是物质的属性。

 

表(5.1)物质组成型广义集合的特点

广义集合

个体的特点

标志值的特点

一堆水果

物质名词—水果(种)

物质名词—苹果、香蕉(属)

体育代表团

物质名词—代表团成员

物质名词—运动员等(属)

本年级的学生

物质名词—学生

属性—学生身高

本工厂所有员工

物质名词—员工

属性—员工工资

物质性广义集合是广义集合的基本类型。这一类广义集合的例子已经举了很多,这里不再赘述。

§5·2 时空(场)的广义集合

时间和空间是我们研究物质及其运动时必不可少的概念。稍做分析就会明确时间和空间是一种特殊的广义集合,其特点是个体为单位时间或者单位空间(或者是单位的整数倍),标志值是时间或者空间的编号而且分布函数值都等于1

当我们说有一个长度为 L 的线段时,也可以把它理解为这样的一个广义集合:这个线段一方面可以分成 L 个大小完全相同的个体(小线段)又由于每个个体在空间的位置不相同而被认为具有不同的标志值(以空间坐标为标志值)。所以这个线段符合广义集合的定义。对“不同位置的线段各有多少”这一问题的答案就是其分布函数值(=1)。

普通的尺都是把有限的空间(长度)分成了大小相同的彼此不重叠的很多个小段。每段就是一个个体。不重叠表示各个个体的位置都不同。以位置为标志值,在每个位置的个体当然仅有一个个体。所以长度(一维的空间)就是分布函数值为 1 的一个广义集合。

图(5.1)是二维空间的例子。图中的灰色面积是要研究的广义集合(可方可圆,也可以是任何形状)。它被分成大小相同的26块小面积(个体)。以数码表示每个个体(小面积)的位置,问不同的位置的个体(小面积)各有多少,答案显然是每个位置的个体仅有一个个体。这个答案就是这个广义集合的分布函数。所以面积本身也是广义集合。

 

图(5.1)灰色面积被分成很多个小面积并且编了不同的号码,

它成了描述空间(两维)的广义集合

1

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很多礼堂的座位都编了号码,而且没有重复的号码,它们都是两维的空间的广义集合的例子。

上面对面积的分析方法与对长度的分析是类似的。对于三维空间我们也可以这么分析。体积为V 的一块空间,当把它分成V个小体积并且为每个小体积编一个彼此不同的编号时。不同编号的小体积占的体积当然都是1。所以空间也是分布函数值等于1的广义集合。

以上分析也可以用到时间上去。长度为T 的一段时间都可以看成是由T 个时间单元组成的总体。而每个时间单元在时间轴上的坐标都不同,导致每个时间单元占的时间的长度都相同。每段时间都一样长,换成新语言就是时间这个广义集合的分布函数是函数值为1的一个函数。每个小学生都知道上午的一小时与下午的一小时是一样的长。我们把这个不成问题的问题换了花样,就成了时间也是广义集合(分布函数1)。

这样我们就把时间和空间都归入了广义集合概念内,而且认识到它们的分布函数的函数值为1(时间或者空间中的单位个体)。把时空(场)也和实物质一样地被看成广义集合也为分析物质的运动提供了工具。

§5·3 运动的广义集合

质点在空间的运动(例如地球绕太阳的运动)是经典力学研究的问题,而电子绕原子核的运动是量子力学研究的问题。它们描述运动的方法不同但是它们也可以广义集合描述吗?也可以给出其分布函数吗?

没有外力的情况下一个质点做等速直线运动,这是牛顿力学的结论。现在的问题是如何把它看成是一个广义集合?如何得到它的分布函数。问题可以这么分析:如果质点在T 时段内移动的距离是L ,我们把每个单位时间看作是一个个体(共有T 个个体)把每个单位时间的质点所在位置作为标志值,也就形成了一个广义集合。

面对这个广义集合问:质点在不同的位置各有多少时间?这个问题的结构符合分布函数的模型。所以它的答案也就是要找的分布函数。

由于在等速运动中质点在每个位置占有(滞留)的时间都相等,所以不同标志值(位置)对应的个体的个数(时间),即分布函数值也都相等。如用下图表示(横坐标是位置,纵坐标是滞留时间)这个分布函数,它就是一条平的直线。

5.2 描述质点匀速运动的分布函数是一条直线

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看来用广义集合描述一个质点的运动轨迹时可以把单位的时间被看成是个体。而运动物体所在的空间位置是标志值。

一个行星围着太阳做椭圆运动,根据万有引力定律,它在离太阳近时扫过单位角度用的时间就短。而在离太阳远时扫过单位角度用的时间就要长。以单位时间为个体(纵坐标),以相对太阳的位置(角度)为标志值(横坐标)我们可以做出行星在不同位置(指角度)滞留时间的一个曲线图。它就是行星运动的分布函数。

上面的例子显然也可以用于人造地球卫星。此外我们也不难计算出自由落体等各种用牛顿力学已经解出其运动规律的质点运动轨迹的分布函数。而每找到一个分布函数,也就明确了一个广义集合。这样我们就把广义集合和分布函数概念用到了经典力学中去了。

上面的例子中是把质点的位置(应当理解为广义坐标)作为标志值看待的。但是标志值也可以是其他的描述运动的物理量。例如它还可以是质点的速度、动量或者加速度(广义动量、广义力)等等。把这些问题都展开了谈可能要写一册书。

量子力学是描述微观粒子运动的,它也是广义集合概念的应用场所?答曰:

量子力学没有能力描述微观粒子的准确位置,但是它用波函数描述运动。它给我们的说明是波函数的平方就是质点出现在某处的出现的概率(它是时间和空间的函数)。一个电子在距离原子核为某个距离处的概率高是什么含义呢?

仍然按照前面的思路,把电子在原子核外的运动看成是一个广义集合。把每个单元时间看成这个广义集合内的个体,把电子处于原子核外的具体位置看成是标志值,那么关于一个电子的运动这个广义集合的分布函数就是回答电子在不同位置的滞留时间是多少。电子如果在某处滞留的时间长一些也就是在该处发现电子的概率高一些(两者严格成正比)。所以量子力学中给出的波函数的值的平方恰好是我们认定的广义集合的分布函数。换言之,只要把量子力学得到的各种关于微观粒子运动的波函数平方以后就得到了微观粒子的运动的广义集合的分布函数。

以上的分析表明以单位时间为个体可以用于描述经典力学中的质点运动也可以描述量子力学中的质点运动。不过我们也看到广义集合、分布函数概念与量子力学中波函数概念的距离比起它们与牛顿力学中质点运动概念更接近一些(有的量子力学的书就用分布函数一词)。

§5·4 物理场的广义集合