对每个广义集合,都可以问:具有不同的标志值xi的个体各有多少个ni?这个问题的答案就是该广义集合的分布函数。

分布函数是送给广义集合概念使用者的礼物。

 

 

第三章分布函数(2000.01)

 

为改进“集合”概念在描述客观事物时表述能力的不足,上一章把集合论中的元素概念分解为“个体”概念和“标志”概念。这就构成了两维(或者多维)的广义集合概念。本章要利用广义集合的定义自然引出一个结论:每个广义集合必然都伴有一个分布函数。这个函数是描述广义集合内在结构的有力工具,而本书的大部分内容都与分布函数有关。引入分布函数、给出求分布函数的基本方法(统计)和讨论其性质是本章的内容。

分布函数一词不是我们的发明。它是从统计物理学和概率论中借来用于广义集合中的。

§3.1 标志值与个体数量的关系

为使定性的客观事物概念科学化,引入了广义集合这个词。每个广义集合由很多个地位相同的(从某种角度看)个体组成,而每个个体都对某种指标(标志)有一个明确的值(标志值)。这种结构本身已经准备了这样一个问题:这个广义集合内不同的标志值的个体各有多少?

如果把全校的学生作为一个广义集合,而把学生作为个体,把体重作为标志。问:不同的体重的学生各有多少?回答这个问题可以用表3.1

.3.1 不同标志值占有的个体的数量的例子

学生体重(kg

15以下

15-20

20-25

25-30

30-35

35以上

x

学生数量

45

53

62

60

52

34

n

这个表表示了学生体重与学生数量的一种关系。体重是“标志”,具体的体重值是“标志值”。学生数量是广义集合的个体数量。这个表恰好回答了广义集合内不同标志值的个体各有多少的问题。

x 表示学生体重(表的最后一列),以n 表示在该档次中的学生数量。每个x 值(学生体重)都有唯一的一个n 值(学生数量)与它对应。在数学上这就表示x n 之间存在一种函数关系。这表明回答广义集合内标志与个体数量关系问题的答案不是定性的描述,也不是一个数值,而是一个有特殊意义的函数(两串对应的数)。

§3.2 分布函数

对于体重x 与学生数量n 的关系(函数关系)可以说成学生的数量是如何“分布”在不同的体重这个标志上的,或者不同的体重是如何分布在学生中的。有鉴于此,我们称这种函数为分布函数。

分布函数指的是函数关系的一种,它揭示了广义集合(总体、系统、体系)内不同的标志值(x )与其对应的的个体的个数(n)的关系。

这里定义的分布函数符合数学上对函数的定义。但是它要求自变量值x 是一个广义集合的标志值,还要求函数值n 具有个体数量的含义。分布函数是半物理半数学的概念。分布函数一词在统计力学中广为应用,又与数学的概率论中的概率分布函数的含义类似。在树立了广义集合概念后,不仅分布函数容易理解了,也使它走出统计物理的专业范围成为在各个领域通用的概念(泛化)。

当指明一个广义集合时,已经明确了不同的标志值的个体的数量是多少。因而每个广义集合必然存在着各个标志值与其对应的个体的个数的关系。当把这种关系称为分布函数后,也就指明了每个广义集合必然存在一个分布函数。这是广义集合概念的自然推论(广义集合的性质)。

函数通常可以用三种方式表示它:列表、绘成图或者写成所谓数学公式。这些办法都适用于分布函数。我们会在不同的场合用不同的办法表示它。

牛顿的万有引力公式就是一种函数关系,而发现一个函数是科学家的事。难道我也可以发现函数关系?前面说客观事物可以概括为广义集合,现在又说一切广义集合中都必然存在一个分布函数,这好似说谁低头挖地都可以得到黄金?这是真的?

只要有本领把某个客观事物整理为一个清晰的广义集合,并且可以用“不同的标志值的个体各有多少个”的语言模型表述它,你就真的发现了一个函数(客观事物内的数量关系)。至于这个函数在科学上的价值是否与黄金同样显贵,这要视问题是否重要而定。

§3.3 例子