§2.5初步说明

2.5.1个体的个数

广义集合概念中强调了个体的个数,也就认为广义集合内的个体个数就是正整数。如果研究的是有限的客观事物组成的广义集合,那么它包含的个体的总个数N应当是个有限值(不是无限大)。即我们通常把问题看作离散问题(数字化)。以后常用N表示广义集合内的个体总量。

2.5.2标志值

标志的“值”称为标志值,也可以把标志统称为标志变量而把标志值看成是变量的取值。标志可以是有单位(量刚)的数值变量例如摄氏温度、长度米等连续变量(在概率论中称为随机变量)也可以是不能直接用数表示的字符串(计算机编程语言)变量,如在人的血型的标志仅取离散的ABOAB 这四个(血型)标志值就是。

如果一个广义集合的标志是有量刚的数值变量,那么广义集合内的所有的个体的量刚和单位应当是相同的。例如,不能一个个体是个体(学生)的身高1.6米,而另一个是个体(学生)的体重36千克;单位相同就是不同的个体要用相同的单位去计量它的标志值。

如果一个广义集合的标志仅能用字符(字符串)表示时没有上面这些约束,但是它要求一个广义集合内的各个个体同“种”而标志值不同“属”。这里的“种”和“属”是借用生物分类中的语言,种的地位高,而属则低一级(在电脑语言中“种”类似于目录而“属”类似于子目录)。它们的含义是一个广义集合内的所有个体要同“种”而各个不同的标志值表示的是不同的“属”。例如把很多个水果看成一个广义集合时,每个个体都是“水果”(同种),而标志值仅可能是 “苹果”或者“桃子”等等这些水果的“属”(不同类别)。

对于数值变量还有连续与离散之分。数学中已经有了一些离散变量与连续变量互相变换的技术,在必要时也都可以利用。但是这里的概念介绍以离散变量为主线。

另外,标志值显然可以是标量也可以是矢量。例如全校不同身高的学生构成一个广义集合,而全学校的不同身高和体重的学生也可以同时构成一个广义集合。这里的标志值要同时用身高和体重两个数值描述它。而体重和身高就是一个矢量的两个分量。

我们在数学里习惯于面对数量,常常用例如 x 表示一个未知。但是离散数学和电脑的出现突出了逻辑学的地位。于是变量的概念已经被扩大了。在电脑中例如BASIC语言中的我们用 x 表示一个未知数(变量),但是也用 X$ 表示一个字符串。它是一个目前不一定知道的符号,而不是数字。但是电脑中统称为变量。广义集合中的标志值就是这种广义变量。字符串是它的基本形态(对应集合概念中的元素),即便它是数字,它也多是有单位的,而且应当统一地看成是含有数字的字符串。在介绍到广义集合的运算时这些问题会看得更明白一些。

2.5.3层次性

广义集合研究客观事物,但是该事物中的个体是什么就根据你关注的问题的层次(侧面)而定。研究全校学生的身高问题时以一个学生为个体恰好。研究一堆矿石的化学成分,以每种化学成分的分子个数(或者摩尔数)为个体就恰好。而此时不必分析它有多少个电子、中子和质子。恰当选定什么是个体体现了你是否对事物有了合适的观点,也体现了事物本身的层次性。有人会说究竟分析哪个层次由人决定,这岂不是失去了客观标准?我们说①现代物质科学的分工(分科)都是这么做的,我们这么做当然可以。②一切观察分析都有相对性。要在一次研究中概括全部的侧面几乎是不可能的也常常是不必要的。

2.5.4名称和其他

广义集合是把集合概念中的元素概念一分为二而形成的。元素概念中本体性的部分被称为个体,元素概念中外观性的部分被称为标志。我们这种称谓在语义上是比较妥切的,但是它们把集合论中的惯用的元素一词给扔掉了。这可能使人们感到不便。如何处理名称问题也是要大家商量研究的。

把可以同时描述事物的性质差别(标志值)和数量多少的这个总体称为广义集合是我们的建议。大家也可以提出其他更妥当的名称。例如某某集合,或不含集合两个字。

集合可以对客观事物做某种划分,这相当于列出了一个一维的轴。广义集合既用标志值把各个个体分了类,又给出不同标志值的个体各有多少。这相当于列出了两维(多维)的一个面(多维空间)。

2.5.5符号和规则

集合有一套符号表示方法和运算规则;广义集合是否也有?对这些问题的答案都是肯定的。但它们在第六章讨论。

2.5.6看法

曹鸿兴教授认为组成论应当称为元分布论马力教授认为广义集合是“系统”概念的数学定义邱嘉文说:“…知识框架中的(有)两种基本结构:IS A PART OF和IS A KIND OF,您(组成论)已经把这两者用HOW MANY OF 联系起来了,…”

§2.6小结

人和动物都面对着非常复杂的客观事物。但是人类发展了语言、文字,而后是出现了科学。语言和文字就是对客观事物的简化(模型化),但是它与严格意义的具体科学还有距离。为了对客观事物的一般规律进行科学研究,我们需要把客观事物再向科学的方向简化。为此,我们为客观事物提出了一个简明事物模型,广义集合是我们对它的具体称谓。

为描述一个系统内有那些不同的事物,数学家曾经提出了集合概念。它的不足之处是不便描述同类事物的数量多少。在明确了个体概念(强调每个个体地位相同)和每个个体都有一个标志值的基础上,我们引入了表述能力更强的新概念,即广义集合。而这也是我们把简明事物模型暂时称为广义集合的原因。

集合概念可以区分不同的事物有那些。广义集合还可以描述相同的事物有多少。

集合概念过去主要用于数学领域。描述能力更强的广义集合概念则开始迈入各个自然和社会科学学科。它为研究客观事物提供了通用的新概念。本书后面会随着讨论的深入看到它在各个领域的例子。下一章介绍广义集合必然伴有的一个函数,我们称它为分布函数

第二章问题:

1.       数学中的集合概念和这里的“广义集合”有什么区别?

2.       为什么说“广义集合是描述客观事物的一个通用简化模型”?

3.       自己找出4个广义集合的例子,并且指出每个广义集合中的个体是什么。

4.       解释一个广义集合内的各个“个体”地位的“全同性”的含义。

5.       标志和标志值有什么区别?

6.       指出第3题中的4个广义集合的“标志”是什么?其中那些标志值是离散型的,那些是连续型的?

7.       您认为广义集合这个名称取得是否合适?有更妥当的名称吗?

第二章结束

第三章