§2.3标志概念描述差别

仅有个体概念当然不够,于是又引入了标志(标志值)概念。

总体是由很多个地位相同(从某个侧面讲)的个体组成的。但是地位相同并不是说它们的一切侧面、一切特征、一切指标都相同。每张麻将牌的地位从被面看是相同的,但是它们正面有不同的面孔。有的是“条”,有的是“万”...参加考试的每个考生的地位是相等的,但是他们的成绩并不一定相等。为了描述一个总体内各个个体的某些侧面的差别,还要引入标志概念(含义与集合论中的元素概念基本相同)。

标志是对总体(如学生们)内的每个个体都具有的某个侧面、特征、指标(如身高)的描述。300万学生(以后称为广义集合)参加高考,我们把语文成绩视为标志(描述了考生的一个侧面)。而每个个体(考生)就某某标志的具体取值(就语文成绩而言得了85分)称为标志值。

每个考生的成绩可能不相等,这说明标志值有能力描述各个个体之间的差异性

 

表2.2 个体、标志和标志值的例子

研究的总体

个体的名称

标志名称

标志值举例

一副麻将

一张牌

条、并、万等

柒条

全校的同学

一个学生

每个学生的体重

体重37千克的学生

太平洋的海水

一升海水

每升海水的温度

温度23度的海水

图书馆的一堆书

一本书

每本书的价格

15元一本的书

一付中药

每种中药

红花、甘草等

甘草

某议案的表决投票

一张选票

投票结果

赞成票

一堆人民币

一张人民币

人民币票面值

一张五元的人民币

“体重、温度、价格”等等,我们泛称为标志,而具体的体重37公斤、温度23度、价格15元、 “赞成票”、“三万”、“七饼”这都表示标志的值(称为标志值)。标志是对一种特征的通称,而标志值是对标志的取值的特称。标志类似于统计数学中的随机变量,我们有时也用标志变量称呼它,而标志值类似于随机变量的取某个具体的取值。

总体内的个体概念强调的是每个个体的全同性,而标志概念强调每个个体都有确定值,不能具有多个值,还强调每个个体的标志值可以不同(也可以相同)。它体现总体内部各个个体的差异性。

15个高度都是2厘米的长方形,它们的宽度却各不相同(不尽相同)。从“都是长方形而且高度都相同”的角度看(不要改变角度!),这里的每个个体是全同的。而每个长方形的不尽相同的宽度,体现了各个个体的差别性。宽度是这个个体都具有的一种标志,其每个个体的标志值可能不同。这个例子里个体的全同性和标志值的差别性表现得比较具体。

§2.4广义集合

2.4.1定义

有了个体概念(地位相同)和标志概念(每个个体都有确定值但各个个体可以不同),很容易引入广义集合概念。

一个集体(客观事物、研究对象、系统、体系、总体)如果

  1. 可以分成多个(>0)地位相同的个体(成员、粒子);

  2. 就一定(可能多个)标志而言,每个个体都有唯一的标志值;

这个集体称为广义集合。

可以把一个水分子看成一个广义集合,这个分子由原子组成,它的个体就是原子。它的标志是原子的名称(或说原子序数)。一个水分子由三个原子组成所以个体总量是3。它有两个氢原子H和一个氧原子O

化学家已经找到了有上百万种彼此不同的分子,他们显然都符合广义集合的定义。这表明已经轻易地在化学领域找到了上千万种广义集合!

一副麻将就是一个明确的广义集合,它由136张背面完全相同的个体(牌)组成,牌的正面上的“条、饼、万和风”通称为标志,每张牌上的三万、五条等等都是具体的标志值。其中不同的标志值有34种,每种各有四张。另外,游戏时每人仅取13张牌,这13张牌又是另一个广义集合。

电视或者显示器屏幕是由很多个大小一样的小点(象素)组成的。有的屏幕有640(横)*480(竖)个小点(象素)。每个象素面积相同,把它定为一个个体是妥当的。各个象素(个体)的颜色可以相同或者不同。这样就构成了一副彩色的画面。把每个象素的颜色用代码表示,颜色就是标志,而代码值就是标志的值。所以每个屏幕画面都是一个明确的广义集合。考虑新疆各地的空气温度,以每平方公里的面积为个体,以该面积上的空气温度为标志,新疆各地的不同温度的分布又是一个广义集合。一张中国雨量分布图,一张太平洋的海面温度分布图都是广义集合的例子(后面有更多例子)。

与集合概念比广义集合首先强调了客观事物可以分成地位相同的若干个个体,还规定每个个体都有确定的标志值。这已经包含了两个或者多个个体可以有相同的标志值。这是它与集合概念的重要差异。

广义集合是描述总体内部某个标志(特性)的差异性的统一、简练、定量的语言。

2.4.2表示方法原始列表

有了广义集合的定义,如何表示一个确定的广义集合?这里介绍表示广义集合的最基本的方法,更多的问题留到第三、六章讨论。

所谓最基本的表示广义集合的方法就是给每个个体一个不重复的编号号码,然后列出它的标志值。它就是一个仅有两列(或者行)的表。一列(行)是编号一列(行)是标志值。这种“表”称为广义集合的“原始列表”。

2.3 9名学生的语文成绩,广义集合的原始列表的例子

学生编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

语文成绩

95

87

84

75

92

75

86

84

80

2.4 一个水分子广义集合的原始列表

个体编号

标志值

(用原子序数表示)

1

1 (氢的原子序数)

2

1 (氢的原子序数)

3

8 (氧的原子序数)

2.5 一手麻将牌(13张),一个广义集合的原始列表

个体编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

标志值

叁万

东风

柒条

伍万

玖并

陆并

白板

贰万

壹条

贰条

肆万

东风

叁万

这种表示方法也可以理解为对观测调查数据的最初的整理。它是对广义集合的完备的表述(没有比它更详尽的了)但比较笨。如果对于全市的学生的考试成绩都列在一个表里,它就太大了。要统计全国人口的年龄,把每个人列出来更不得了。

原始列表是广义集合的基础资料。利用它可以得到其他的更简明的表示广义集合的方法。

§2.5初步说明